自由表面网格细化

有关自适应网格细化的详细信息，请参见自适应网格细化。

为确保锐化交界面得以保持，自由表面网格细化标准可避免细化已包含交界面的网格单元。该算法尝试标识当前交界面位置的下游网格单元（也可选择上游），并对其进行标记以供细化，从而确保当交界面移入这些网格单元时交界面分辨率得以保持。但是，当“自适应网格插值”选项设为锐化重构时，自由表面网格细化标准还会标记要细化的交界面网格单元。

该算法过程如下所示：

1. 标识包含交界面的网格单元。对相应网格单元的标识是基于体积分数梯度的幅值。在以下情况下，网格单元被识别并标记为交界面网格单元：

   $$\left|{\left(\nabla \alpha \right)}_i\right|>\frac{{\left(\nabla \alpha \right)}_{i,\max }}{r_i}$$

   (2618)

   对于体积分数梯度的至少一个组分 $i$ 。

   ${\left(\nabla \alpha \right)}_{\max }$ 表示给定网格单元上可达到的最大体积分数梯度， $r_i$ 为用户指定的灵敏度参数（自由表面网格细化准则中的交界面检测的分辨率准则属性）。

   标记的网格单元定义初始交界面指示器 $I_0$ ，如：

   $$I_0=\{\begin{array}{c}\text{0 if the cell is not an interface cell}\\ \text{1 if the cell is an interface cell }\end{array}$$

   (2619)

2. 交界面指示器 $I_0$ 在流场作用下平流，从而预测下一个 AMR 事件的交界面位置。在某些情况下，还可以细化交界面后面（上游）的网格。在这些情况下，还会在相反的流向上发生平流。

   下一个 AMR 事件的时间由时间步长、AMR 周期（指定为自适应网格求解器的更新频率）和两个用户指定的参数（设为自由表面网格细化准则中的扫描距离估计因子 [上游，下游] 属性）：

   $$\begin{array}{c}{T}^{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}=t+C^{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}\cdot \mathrm{\Delta }t\cdot N_{\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{R}}\\ T^{\mathrm{U}\mathrm{p}}=t+C^{\mathrm{U}\mathrm{p}}\cdot \mathrm{\Delta }t\cdot N_{\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{R}}\end{array}$$

   (2620)

   其中

   • $\mathrm{\Delta }t$ 为时间步长

   • $N_{\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{R}}$ 为 AMR 周期

   • $C^{\mathrm{U}\mathrm{p}}$ ， $C^{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}$ 分别为上游和下游的扫描距离估计因子。

   然后，使用显式欧拉格式来求解下游和上游标记的两个输运方程：

   $${\partial }_t{I}^{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\mathrm{/}\mathrm{U}\mathrm{p}}+{\overrightarrow{u}}^{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\mathrm{/}\mathrm{U}\mathrm{p}}\cdot \nabla I^{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\mathrm{/}\mathrm{U}\mathrm{p}}=0\text{ for }t\in (t,t^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{R}})$$

   (2621)

   $$\begin{array}{c}{I}^{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\mathrm{/}\mathrm{U}\mathrm{p}}(t,\overrightarrow{x})=I_0\left(\overrightarrow{x}\right)\\ I^{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\mathrm{/}\mathrm{U}\mathrm{p}}(s,\overrightarrow{x})=1\end{array}$$

   (2622)

   对于所有 $s$ 和 $\overrightarrow{x}$ ，其中 $I_0\left(\overrightarrow{x}\right)=1$ 。

   Eqn. (2622) 充当初始标记的源项，这样，在传输过程中，初始和最终交界面位置之间的所有网格单元都被标记以供细化。

   子步和回滚格式用于稳定较大的 CFL 数的显式传输。此格式从与全局时间步对应的初始时间步开始，并求解 Eqn. (2621)。如果已传输的标记字段包含非物理值（即超出某些阈值），则会使用较小的时间步长来重复传输，直至求解稳定为止。

   包含两个方向的已传输的标记 $I$ 被确定为 $I=\max (I^{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}},I^{\mathrm{U}\mathrm{p}})$ 。

3. 标记 $I$ 通过一个额外的安全网格单元层进行扩展。

4. 最后，根据以下规则为自适应网格细化标记网格单元：

   • 如果 $e\in I_0$ （表示当前交界面位置的所有网格单元），且如果自适应网格插值设为喷射，则标记为保留。这些网格单元在下一个 AMR 事件中不会被修改。

   • 如果 $e\in I_0$ 且自适应网格插值设为锐化重构，则标记为细化。接下来，这些网格单元会在下一个 AMR 事件中细化。

   • 如果 $e\in I_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}$ 且 $e\notin I_0$ ，标记为细化。这表示当前和预测交界面位置之间的所有网格单元。这些网格单元在下一个 AMR 事件中会被细化。

   • 否则，标记为粗糙化。这些网格单元在下一 AMR 事件中会被粗糙化，或者如果它们已处于原始大小，则保持不变。

   启用自由表面网格细化准则中的限制网格单元尺寸属性后，如果细化将导致子网格单元小于指定的最小自适应网格单元尺寸分布，则上面标记为细化的网格单元会标记为保留。

   求解初始化过程

   在求解初始化过程中，自由表面网格细化标准遵循与上述相同的算法步骤，但会无条件将交界面 $e\in I_0$ 的所有网格单元标记为细化。此阶段中的 AMR 事件数由所有标准允许的最高细化等级确定。

   每次扫掠后，将在已细化网格上重新初始化求解，并重复此过程。由于已细化网格上的重新初始化求解可能明显不同（例如，通过包含前一粗糙网格上无法求解的流或自由表面特征），因此每步之后细化可能并非最佳。因此，在第 3 步中应用的安全机制可能会导致出现一个或两个不必要的网格单元层，这些网格单元层将下一 AMR 事件移除。要避免这种情况，可通过增加最高细化等级数来进行额外的初始化扫掠，然后通过调整最小网格单元尺寸属性以在分辨率达到所需值后停止细化。