网格运动的守恒方程

网格运动在固体力学和流体力学中有着不同的内涵。在固体力学中，应用拉格朗日公式，使计算域的一部分表示固体的一部分。因此，固体网格的运动对应于固体的运动。流体力学应用欧拉描述，使计算域的一部分表示材料流过的空间部分。在这种情况下，移动流体网格以考虑边界的形状和位置变化，例如由于相邻体的运动。

流体力学

网格运动通过在对流项中引入额外的通量来修改守恒方程。此外，如果相对于移动参考坐标系定义运动，则动量方程会考虑因非惯性参考坐标系产生的假想力。

移动网格的流体方程

考虑最常见的情况，即：相对于参考坐标系定义网格运动，而参考坐标系相对于基准参考系移动。守恒方程（Eqn. (613)、Eqn. (614) 和 Eqn. (617)）可以按基准坐标系中的流体速度（也称为绝对速度）写为：

\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} ρ d V + \oint_{A} ρ (v_{r} - v_{g}) \cdot d a = \int_{V} S_{u} d V

(5007)

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} ρ v d V + \oint_{A}^{} ρ v \otimes (v_{r} - v_{g}) \cdot d a = \end{matrix} \oint_{A} σ \cdot d a + \int_{V} f_{b} d V - \int_{V} ρ ω \times v d V

(5008)

\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}^{} ρ E d V + \oint_{A}^{} ρ E (v_{r} - v_{g}) \cdot d a = - \oint_{A}^{} q \cdot d a + \oint_{A}^{} (v \cdot σ) \cdot d a + \int_{V}^{} f_{b} \cdot v d V + \int_{V}^{} S_{E} d V

(5009)

其中， $v_{g}$ 为基准参考系中的网格速度， $v_{r}$ 为 Eqn. (5005) 中定义的相对速度。Eqn. (5008) 右侧的最后一项为由非惯性移动参考坐标系引入的假想力。假想力由 coriolis 力和离心力组成。如果参考坐标系不移动，则此假想力将会消失，且 $v_{r} = v$ 。

对于基准坐标系中的固定网格，Eqn. (5007)、Eqn. (5008) 和 Eqn. (5009) 将简化为 Eqn. (623)、Eqn. (624) 和 Eqn. (625)。

空间守恒

当网格移动时，其网格单元的形状和位置可以随时间变化。对于直接移动网格节点的运动（如变形或用户自定义运动），Simcenter STAR-CCM+ 会求解一个额外的方程来强制执行空间守恒：

\frac{d}{d t} \int_{V} d V = \int_{A} v_{g} \cdot d a

(5010)

这样，Simcenter STAR-CCM+ 可确保网格单元体积的变化率平衡其边界表面的运动。

网格通量计算

在 Eqn. (5007)、Eqn. (5008) 和 Eqn. (5009) 中，对流项包含网格速度和移动参考坐标系产生的额外贡献。

考虑到对流项的离散形式（请参见 Eqn. (848)），这些贡献将转化为额外通量 $G$ ，称为网格通量。面 $f$ 处的已修正对流通量则可以写为：

{[ϕ ρ (v \cdot a - G)]}_{f} = {\dot{m}}_{f} ϕ_{f}

(5011)

其中：

G = G_{M R F} + G_{g}

(5012)

移动参考坐标系产生的贡献 $G_{M R F}$ 计算如下：

G_{M R F} = (v_{M R F, t} + ω_{M R F} \times r) \cdot a_{f}

(5013)

当参考坐标系不移动时， $G_{M R F} = 0$ 。

对于一阶时间近似，网格运动产生的贡献计算如下：

G_{g} = \frac{δ V_{f}^{n}}{Δ t}

(5014)

对于二阶时间近似：

G_{g} = \frac{(α^{2} - 1) {δ V}_{f}^{n + 1} - {δ V}_{f}^{n}}{α (α - 1) Δ t^{n + 1}}

(5015)

且：

\begin{matrix} α & = & 1 + \frac{Δ t^{n + 1}}{Δ t^{n}} \\ Δ t^{n + 1} & = & t^{n + 1} - t^{n} \\ Δ t^{n} & = & t^{n} - t^{n - 1} \end{matrix}

(5016)

其中， $δ V_{f}^{n + 1}$ 为面 $f$ 在时间步 $Δ t^{n + 1}$ 期间扫掠的体积， $δ V_{f}^{n}$ 为面 $f$ 在时间步 $Δ t^{n}$ 期间扫掠的体积。

将从两个时间级别的网格位置计算扫掠体积。 $n$ 表示当前时间级别， $n - 1$ 表示上一个时间级别，而 $n + 1$ 表示下一个时间级别。 $Δ t$ 为时间步。

当网格固定时， $G_{g} = 0$ 。

固体力学

在固体力学应用中，可根据应用的负载对固体结构的变形进行建模。当固体具有预先指定规律的运动时，Simcenter STAR-CCM+ 还会考虑因固体结构加速度产生的惯性力而导致的变形。

固体力学应用与旋转、平移和旋转和平移刚体运动模型兼容。这些运动只能相对于基准参考系定义。

位置、速度和加速度

Simcenter STAR-CCM+ 支持多级叠加旋转和平移，其中较低级别的运动相对于父运动进行定义。应用 $n$ 个任意叠加的旋转和平移之后，网格节点的位置可以写为：

X_{n} = X^{c_{1}} + R_{n} (X - X^{c_{n}}) + \sum_{i = 1}^{n} d_{i} + \sum_{i = 1}^{n - 1} R_{i} (X^{c_{(i + 1)}} - X^{c_{i}})

(5017)

其中， $X^{c_{i}}$ 为第 $i$ 个运动的原点位置， $X$ 为节点的初始位置， $d_{i} = v_{i} t$ 为因平移产生的第 $i$ 个运动的节点位移（其中 $v_{i}$ 为平移速度）， $R_{i}$ 为复合旋转矩阵，定义如下：

R_{i} = R [(\sum_{k = 1}^{i} ω_{k}) t]

(5018)

对 Eqn. (5017) 求微分可提供刚体网格速度 $v_{g}$ ：

v_{g} = \sum_{i = 1}^{n} [v_{i} + ω_{i} \times (X - X^{c_{i}})]

(5019)

其中， $ω_{i}$ 为第 $i$ 个运动的复合角速度：

ω_{i} = \sum_{k = 1}^{i} ω_{k}

(5020)

对 Eqn. (5019) 求微分可提供刚体网格加速度 ${\dot{v}}_{g}$ ：

{\dot{v}}_{g} = \sum_{i = 1}^{n} {\dot{v}}_{i} + \sum_{i = 1}^{n} 2 ω_{i} \times v_{i} + \sum_{i = 1}^{n} {\dot{ω}}_{i} \times (X - X^{c_{i}}) + \sum_{i = 1}^{n} [ω_{i} \times (\sum_{i = 1}^{n} [ω_{i} \times (X - X^{c_{i}})] - \sum_{j = 1}^{i} [ω_{j} \times (X^{c_{i}} - X^{c_{j}})])]

(5021)

其中，第一项为平移加速度，第二项为 Coriolis 加速度，第三项为离心加速度，最后一项为切向加速度。

刚性移动网格的动量方程

通过预先指定规律的网格运动，动量方程 (Eqn. (4562)) 可以写为：

ρ \ddot{u} - \nabla\cdot σ - f_{b} + ρ {\dot{v}}_{g} = 0

(5022)

其中， ${\dot{v}}_{g}$ 为因预先指定规律的运动而产生的网格加速度（请参见 Eqn. (5021)）。类似的更改将应用于虚功方程 (Eqn. (4564))。

总位移可以写为：

u_{T} = u_{R} + u

(5023)

其中， $u_{R}$ 为预先指定规律的旋转和平移产生的刚性位移， $u$ 为固体应力求解器计算的非刚性变形产生的位移。没有旋转和平移时， $u_{T} = u$ 。

对于 FSI 应用程序，还可以根据通过 Eqn. (5022) 计算得出的位移移动固体网格（请参见固体位移运动）。

对于基准坐标系中的固定网格，Eqn. (5022) 将简化为 Eqn. (4562)。为了与流体兼容，固体力学应用还支持移动参考坐标系中的固定网格。如果是网格运动，则所有结果均显示在相对于基准坐标系的移动网格上。对于移动参考坐标系中的固定网格，所有结果均显示在相对于移动参考坐标系的固定网格上。