颗粒聚类和破碎

颗粒粘接用于将颗粒模型扩展成更复杂的（柔性）形状或结构。可使用颗粒簇模型创建成组的颗粒来表示复杂的形状。颗粒簇模型调用粘接颗粒模型，其中个体颗粒保留各自独立的身份并通过弹性柔顺的粘接相互链接或者链接到壁面。通过添加损坏模型，可使簇断裂和分裂，从而使构成颗粒与簇分离开来。

另一方面，复合颗粒模型将整体当作在模拟期间不会分离的单个刚体。

颗粒团聚使用的机制与成簇的颗粒相同，但粘接是在模拟期间在颗粒碰撞时按间隔形成或者按照用户提供的准则形成的。这种粘接形成方式可以是初始化阶段的一部分，例如将颗粒装入体积内并形成初始配置。此机制也用于表示一个过程，例如模拟期间的压片过程。结果是形成一个柔性结构，损坏作为一个选项。

颗粒粘接模型

颗粒粘接模型可由颗粒团聚模型和粘接颗粒（簇）模型使用。颗粒团聚模型不仅使用颗粒粘接来描述构成颗粒之间的相互作用，还根据用户选择的弹性接触模型对颗粒之间的弹性碰撞建模。粘接颗粒（簇）模型仅使用颗粒粘接模型。

颗粒粘接模型可模拟对粘接的累积损坏。当相互作用产生一定损坏，但未出现失败时，该损坏程度体现为粘接强度降低。

并行粘接力可由以下控制方程 [737] 表示。

由于并行粘接而在颗粒上产生的力和扭矩为：

F_{i} = F_{n} n_{i} + F_{s} t_{i}

(3323)

M_{i} = M_{n} n_{i} + M_{s} t_{i}

(3324)

其中，项表示法向，表示关于接触平面的力和扭矩的剪切分量，并且： $F_{n}, M_{n}$ $F_{s}, M_{s}$

{Δ F}_{n} = k_{n} A {Δ U}_{n}

(3325)

{Δ F}_{s} = - k_{s} A {Δ U}_{s}

(3326)

Δ M_{n} = - k_{s} J {Δ Ω}_{n}

(3327)

Δ M_{s} = - k_{n} I {Δ Ω}_{s}

(3328)

其中：

A = π R^{2}

(3329)

其中， $R$ 为粘接半径：

R = m_{r} min (R_{A}, R_{B})

其中：

$m_{r}$ 为模型中设置的粘接半径乘数（默认情况下为 1）。
$R_{A}$ 和是两个粘接颗粒的半径。 $R_{B}$

I = \frac{1}{4} π R^{4}

(3330)

J = \frac{1}{2} π R^{4}

(3331)

k_{n} = \frac{E_{e q}}{R_{a} + R_{b}}

(3332)

k_{s} = 6 (\frac{G_{e q}}{R_{a} + R_{b}})

(3333)

Δ U = V_{relative} Δ t

(3334)

其中，是的法向分量，是的切向分量。 $Δ U_{n}$ $Δ U$ $Δ U_{s}$ $Δ U$

Δ Ω = ω_{relative} Δ t

(3335)

其中，是的法向分量，是的切向分量。 $Δ Ω_{n}$ $Δ Ω$ $Δ Ω_{s}$ $Δ Ω$

当剪切和拉伸应力超过规定的限值时，并行粘接可视为易断裂和崩解。根据梁理论，应力限值计算方式如下：

δ_{m} = \frac{- F_{n}}{A} + \frac{| M_{s} | R}{I}

(3336)

σ_{m} = \frac{| F_{s} |}{A} + \frac{| M_{n} | R}{J}

(3337)

其中：


$δ_{m}$	在粘接中计算得出的最大拉伸应力
$σ_{m}$	在粘接中计算得出的最大剪切应力

如果任一值超过预定义的最大值，将移除粘接，并且仅根据颗粒的颗粒相互作用进一步计算这些力。

简单失效模型

如果粘接上的拉伸应力或剪切应力超过用户指定的某个最大值 $δ_{max}$ 和 $σ_{max}$ ，则简单失效模型会断开模拟中的粘接。

在以下情况下，粘接失效：

δ_{m} > δ_{\max} or σ_{m} > σ_{\max}

其中：

$δ_{\max}$ 在粘接不失效的情况下允许的最大拉伸应力。
$σ_{\max}$ 在粘接不失效的情况下允许的最大剪切应力。

冲击切割模型

如果颗粒冲击速度幅值 $v_{imp}$ 超过了用户指定的冲击速度阈值 $v_{thr}$ ，则冲击切割模型会在模拟中断开粘接，其中 $v_{imp}$ 是接触点处颗粒与壁面之间相对速度的幅值。该模型适用于纤维颗粒和颗粒簇。

对于具有多个粘接的颗粒，如果多个纤维段或成对团簇球体满足破碎准则，则一次只有一个粘接破碎。在这种情况下，破碎的粘接最接近冲击位置。但是，对于两个端段，仅存在一个粘接。

在上一次破碎的时间超过用户指定的破碎时间间隔后，可能会发生二次破碎。

模型使用以下步骤确定哪些粘接将破碎：

标识最大冲击速度幅值超过 $v_{thr}$ 的段： $v_{i} = v_{max} \geq v_{thr}$
且：
$v_{max} = max {v_{i}}, i = 1, \dots, N$
其中：
- $v_{max}$ 是团簇颗粒纤维或球体的所有段之间的最大冲击速度幅值。
- $N$ 是粘接颗粒的粘接组分数。
对于二次破碎，检查是否 $t - t_{b} \geq Δ t$
其中：
- $t_{b}$ 是上一次破碎的时间。
- $Δ t$ 是用户指定的破碎时间间隔。
让 $j$ 和 $k$ 作为与段关联的两个粘接， $x_{j}$ 和 $x_{k}$ 作为其粘接位置， $x_{c}$ 作为冲击位置。如果 $| x_{j} - x_{c} | < | x_{k} - x_{c} |$ ，则要破碎的粘接为 $j$ ，否则为 $k$ 。

恒定比率损坏模型

恒定比率损坏模型可模拟因碰撞产生的簇中颗粒之间的粘接弱化和断开。

恒定比率损坏模型遵循下图中所示的应力应变曲线：

点 ( $ε_{f}$ , $σ_{max}$ ) 是该应变引发的故障处的应变 $ε_{f}$ 和最大应力 $σ_{max}$ 的点。一旦条件达到该点 ( $ε_{f}$ , $σ_{max}$ )，模型可计算将应力返回到由 ( $ε_{f}$ , $σ_{max}$ ) 到 ( $k_{r} ε_{f}$ , 0) 的直线定义的故障表面所需的损坏。其中， $k_{r}$ 为断裂软化模量，它是在恒定应变下的模型参数默认值为 2。为稳定起见， $k_{r}$ 应大于 1。[734]

如果 $d_{i}$ 是时间步 $i$ 处发生的损坏，则时间步 $i + 1$ 处发生的损坏为：

d_{i + 1} = \min (d_{y}, d_{v}, 1)

(3338)

其中：

$d_{v}$ 为最快的裂纹增长速度导致出现的损坏量：

d_{v} = d_{i} + 2 \sqrt{d_{i}} \frac{C_{r}}{r_{b}} Δ t + {(\frac{C_{r}}{r_{b}})}^{2} Δ t^{2}

(3339)

$C_{r}$ 为瑞利波速度。
$Δ t$ 为时间步长。

d_{y} = \frac{k_{r}}{k_{r} - 1} (1 - (1 - d_{i}) \frac{σ_{m}}{σ_{o}})

(3340)

其中：


$k_{r}$	断裂软化模量，一个默认值为 2 的模型参数
$σ_{max}$	在粘接不失效的情况下允许的最大剪切应力，由恒定比率损坏模型的拉伸强度法属性确定
$σ_{o}$	粘接的最大拉伸应力（请参见 [725] 和 [743]）

粘接的最大拉伸应力计算如下：

σ_{o} = \sqrt{\max {(0, δ_{m})}^{2} + σ_{m}}

(3341)

其中：

$δ_{m}$ 为粘接中局部最大拉伸应力的计算值。请参见 Eqn. (3336)。
$σ_{m}$ 为粘接中局部最大剪切应力的计算值。请参见 Eqn. (3337)。

如果 $σ_{o} > σ_{l}$ ，则损坏正在进行：

σ_{l} = σ_{max} \frac{k_{r} (1 - d_{i})}{(k_{r} - 1) (1 - d_{i}) + 1}

(3342)

当粘接损坏时，会修改其刚度。当粘接受拉时，粘接的刚度（在 Eqn. (3326) 到 Eqn. (3328) 中由参数 $k_{n}$ 和 $k_{s}$ 表示）按倍增因子减小。此倍增因子为 $(1 - d_{i})$ 。此因子表示在损坏的粘接中保持不变的减小区域。

当粘接受压时，刚度不会减小，因为断裂表面的直接接触会传输正常负载。合力摩擦与表面粗糙度共同作用来传输剪切力。