相平均和封闭

ϕ = \bar{ϕ} + ϕ' = {〈 ϕ 〉}_{k} + ϕ "

(2541)

其中：

$\bar{ϕ}$ 为瞬时变量 $ϕ$ 的雷诺平均值。
${〈 ϕ 〉}_{k}$ 为瞬时变量 $ϕ$ 的相平均值（由使用相 $k$ 的体积分数加权的雷诺平均值形成）：

{〈 ϕ 〉}_{k} = \frac{\overline{α_{k} ϕ}}{\overline{α_{k}}}

(2542)

其中， $α_{k}$ 为相 $k$ 的瞬时体积分数。

在用户指南中的其他位置， $α_{k}$ 用于雷诺平均体积分数 $\overline{α_{k}}$ 。

以下欧拉多相湍流方程根据相平均湍流应力、动能和耗散衍生得出 [466]：

R_{k} = {〈 {v_{k}}^{"} {v_{k}}^{"} 〉}_{k}

(2543)

k_{k} = \frac{1}{2} {〈 {v_{k}}^{"} \cdot {v_{k}}^{"} 〉}_{k}

(2544)

ε_{k} = \frac{μ_{k}}{ρ_{k}} {〈 2 {S_{k}}^{"} \cdot {S_{k}}^{"} 〉}_{k}

(2545)

{S_{k}}^{"} = \frac{1}{2} {\nabla {v_{k}}^{"} + {(\nabla {v_{k}}^{"})}^{T}}

(2546)

其中， $v_{k}$ 为相 $k$ 的瞬时速度。

在用户指南中的其他位置， $v_{k}$ 用于相平均速度 ${〈 v_{k} 〉}_{k}$ 。

Boussinesq 封闭

使用涡流扩散率或 Boussinesq 假设，连续相中任何标量 $φ$ 因湍流速度波动 ${v'}_{c}$ 而产生的雷诺通量可以建模为：

\overline{ϕ' {v'}_{c}} = \overline{ϕ' v_{c}} = \overline{ϕ {v'}_{c}} \approx - \frac{{ν_{c}}^{t}}{σ_{ϕ}} \nabla \bar{ϕ}

(2547)

其中， $σ_{ϕ}$ 为动量与 $ϕ$ 的湍流扩散率之比。

陈氏封闭

Thai-Van 等人[559] 根据 Simonin 等人开展的工作（例如，请参见 Deutch 和 Simonin 所著 [447]）汇总了同相位和互相位湍流扩散率封闭，进一步扩展了陈氏理论对稳态均匀湍流中小颗粒的研究结果（例如，请参见 Hinze 所著 [474]）。

这些封闭在 Simcenter STAR-CCM+ 中用于陈氏湍流耗散力、离散相湍流和颗粒引起的湍流选项。它们提供了适用于以下湍流扩散率的模型：

连续相湍流扩散：

{ν_{c}}^{t} = \frac{2}{3} {q_{c}}^{2} τ_{T}

(2548)

相间湍流耗散：

D_{c d} = τ_{I} \frac{1}{3} q_{c d} I

(2549)

离散相湍流扩散：

{ν_{d}}^{t} = τ_{I} \frac{1}{3} q_{c d} + \frac{1}{2} τ_{R} \frac{2}{3} {q_{d}}^{2}

(2550)

使用以下内容构造，这包括以下相关性：

${q_{c}}^{2} = \frac{1}{2} {〈 {v_{c}}^{"} \cdot {v_{c}}^{"} 〉}_{c}$  
$q_{c d} = {〈 {v_{c}}^{"} \cdot {v_{d}}^{"} 〉}_{d}$  
${q_{d}}^{2} = \frac{1}{2} {〈 {v_{d}}^{"} \cdot {v_{d}}^{"} 〉}_{d}$

以下时间尺度：

$τ_{T}$ 为涡流周转时间。
$τ_{I}$ 为颗粒-涡流相互作用时间。
$τ_{R}$ 为颗粒松弛时间。

根据 Thai-Van 等人所著，Eqn. (2550) 最初针对充满重颗粒的湍气流衍生得出。他们指出，还可以衍生出气泡相的涡流粘度封闭，但这对预测的影响可以忽略不计。

如果湍流模型用于连续相，则 ${q_{c}}^{2}$ 随时可以用作连续相湍动能 $k_{c}$ ， ${ν_{c}}^{t}$ 对应于标准 K-Epsilon 湍流模型提供的湍流扩散率。

根据 Thai-Van 等人所著，可使用以下公式估计其他相关性：

q_{c d} = 2 {q_{c}}^{2} [\frac{b + η}{1 + η}]

(2551)

{q_{d}}^{2} = {q_{c}}^{2} [\frac{b^{2} + η}{1 + η}]

(2552)

τ_{I} = \frac{τ_{T}}{σ_{0}} \frac{1}{\sqrt{1 + C_{β} ξ^{2}}}

(2553)

τ_{T} = \frac{3}{2} C_{μ} \frac{k_{c}}{ε_{c}}

(2554)

τ_{R} = τ_{D} (1 + \frac{ρ_{c}}{ρ_{d}} C_{V M})

(2555)

其中：

$τ_{D}$ 为基本颗粒时间尺度。此处，该项通常用于表示线性化曳力系数的倒数。有关此系数的详细信息，请参见曳力对湍流耗散的贡献。
$b$ 为颗粒运动方程中连续/离散相加速度项的系数比：

b = \frac{1 + C_{V M}}{\frac{ρ_{d}}{ρ_{c}} + C_{V M}}

(2556)

$C_{V M}$ 为颗粒响应的虚拟质量系数，如果未指定平均流的虚拟质量力模型，则默认值为 0.5。
$η$ 为颗粒涡流相互作用时间，通过颗粒松弛时间进行比例缩放：

η = \frac{τ_{I}}{τ_{R}}

(2557)

$C_{β}$ 为轨线交叉效应的标定系数。根据 Deutsch 和 Simonin 所著 [447]，对与平均相对速度平行的方向将其选作 0.45，而对正交方向将其选作 1.8。默认值为 1.8。
$ξ$ 为按湍流波动速度进行比例缩放的颗粒滑移速度：

ξ = \frac{| v_{r} |}{\sqrt{\frac{2}{3} k_{c}}}

(2558)

尽管 Thai-Van 等人将波动校正包含在此滑移速度估计中，但 Simcenter STAR-CCM+ 中将忽略此校正。

曳力对湍流耗散的贡献

在 Stokesian（粘性曳力）条件下，因相对于粘度为 $μ_{c}$ 的流体的速度，固定直径为 $d$ 、密度为 $ρ_{d}$ 的固体球形颗粒上的瞬时曳力为：

\frac{ρ_{d} α_{d}}{τ_{D}} (v_{d} - v_{c})

(2559)

τ_{D} = \frac{ρ_{d} d^{2}}{18 μ_{c}} = \frac{d^{2}}{18 ν_{c}} (\frac{ρ_{d}}{ρ_{c}})

(2560)

瞬时曳力的雷诺平均可以写为平均曳力项与湍流耗散项的总和：

\bar{\frac{ρ_{d} α_{d}}{τ_{D}} (v_{d} - v_{c})} = \frac{ρ_{d}}{τ_{D}} \overline{α_{d}} (v_{r} + v_{T D})

(2561)

v_{r} = {〈 v_{d} 〉}_{d} - {〈 v_{c} 〉}_{c}

(2562)

v_{T D} = {〈 v_{c} 〉}_{c} - {〈 v_{c} 〉}_{d}

(2563)

使用 Boussinesq 封闭对最后一项建模：

v_{T D} = \frac{\bar{α_{c} v_{c}}}{\overline{α_{c}}} - \frac{\bar{α_{d} v_{c}}}{\overline{α_{d}}} = \frac{\bar{α_{c} v_{c}'}}{\overline{α_{c}}} - \frac{\bar{α_{d} v_{c}'}}{\overline{α_{d}}} \approx - \frac{{ν_{c}}^{t}}{σ_{α}} (\frac{\nabla \overline{α_{c}}}{\overline{α_{c}}} - \frac{\nabla \overline{α_{d}}}{\overline{α_{d}}})

(2564)

对于非 Stokesian 拖曳法和其他交界面面积模型，雷诺平均的结果不再具有简单直观的封闭，但上述结果仍然用作近似。

对于小颗粒，可能会补偿部分非 Stokesian 拖曳法。通过包括对用于计算曳力系数的平均颗粒相对速度的波动贡献（例如，请参见 Thai-Van 等人所著），即可实现此补偿。但是，此处没有遵循这种做法，因为通常很难判断颗粒涡流相互作用究竟会减少还是增强平均滑移 [427]。

一般情况下，将 Stokesian 系数

\frac{ρ_{d}}{τ_{D}} \overline{α_{d}}

(2565)

替换为平均线性化曳力系数 ${A_{c d}}^{D}$ （使用平均滑移速度 $v_{r}$ 和平均交界面面积 $a_{c d}^{'''}$ 计算得出）：

{A_{c d}}^{D} = \frac{a_{c d}^{'''}}{8} ρ_{c} C_{D} | v_{r} |

(2566)

即可得出这些平均曳力和湍流耗散力：

{F_{c d}}^{D} = {A_{c d}}^{D} v_{r}

(2567)

{F_{c d}}^{T D} = {A_{c d}}^{D} v_{T D}

(2568)

这种形式的湍流耗散力及其封闭被人知晓已有一段时间了。例如，请参见 Deutsch 和 Simonin 所著 [447] 或 Gosman 等人所著[466]。此外，该项最近已与 Drew 所著 [450] 和 Burns 等人所著[435] 提出的替代方法达成一致。

虚拟质量对湍流耗散的贡献

瞬时虚拟质量力为：

ρ_{c} C_{V M} α_{d} (a_{d} - a_{c})

(2569)

其中， $a$ 为对应相的加速度。取上述方程的平均值将得出：

\begin{matrix} ρ_{c} C_{V M} \overline{α_{d}} ({〈 a_{d} 〉}_{d} - {〈 a_{c} 〉}_{d}) = \\ ρ_{c} C_{V M} \overline{α_{d}} ({〈 a_{d} 〉}_{d} - {〈 a_{c} 〉}_{c}) + ρ_{c} C_{V M} \overline{α_{d}} (\frac{〈 α_{c}' a_{c} 〉}{\overline{α_{c}}} - \frac{〈 α_{d}' a_{c} 〉}{\overline{α_{d}}}) \end{matrix}

(2570)

第一项针对平均流的惯性。第二项影响湍流耗散力。假设颗粒松弛时间 $τ_{R}$ 是加速时间尺度的估计值，可以使用 Boussinesq 封闭对该项进行建模：

\frac{〈 α_{c}' a_{c} 〉}{\overline{α_{c}}} - \frac{〈 α_{d}' a_{c} 〉}{\overline{α_{d}}} \approx - \frac{{ν_{c}}^{t}}{τ_{R} σ_{α}} (\frac{\nabla \overline{α_{c}}}{\overline{α_{c}}} - \frac{\nabla \overline{α_{d}}}{\overline{α_{d}}})

(2571)

τ_{R} = \frac{ρ_{d} \overline{α_{d}}}{{A_{c d}}^{D}} (1 + \frac{ρ_{c}}{ρ_{d}} C_{V M})

(2572)

组合来自曳力和虚拟质量项的贡献：

\begin{matrix} {A_{c d}}^{D} v_{T D} - ρ_{c} C_{V M} \overline{α_{d}} \frac{{ν_{c}}^{t}}{τ_{R} σ_{α}} (\frac{\nabla \overline{α_{c}}}{\overline{α_{c}}} - \frac{\nabla \overline{α_{d}}}{\overline{α_{d}}})) = \\ (1 + \frac{ρ_{c} C_{V M}}{ρ_{d} + ρ_{c} C_{V M}}) {A_{c d}}^{D} v_{T D} \end{matrix}

(2573)

对于气泡流 ( $ρ_{c} ≫ ρ_{d}$ )，包括来自虚拟质量的贡献可能会使总体湍流耗散系数加倍。

尽管虚拟质量对于湍流中的颗粒响应建模非常重要，但平均虚拟质量力的建模为可选，因为并非所有应用均包括加速平均流。

颗粒引起的湍流

本节概述如何衍生连续相波动动能方程的源项。在所有可能的相间力中，假设曳力是此项的主要贡献。

瞬时流动能的相平均为连续相中的速度波动动能提供以下成分：

k_{c} = \frac{1}{2} {〈 {v_{c}}^{"} \cdot {v_{c}}^{"} 〉}_{c} = \frac{1}{2} {{〈 v_{c} \cdot v_{c} 〉}_{c} - {〈 v_{c} 〉}_{c} \cdot {〈 v_{c} 〉}_{c}}

(2574)

其中：

$\frac{1}{2} {〈 {v_{c}}^{"} \cdot {v_{c}}^{"} 〉}_{c}$ 为瞬时流中的平均动能。通过使用瞬时相动量方程取瞬时相速度标量积 $v_{c}$ 的雷诺平均，可衍生得出平衡方程。
$\frac{1}{2} {〈 v_{c} 〉}_{c} \cdot {〈 v_{c} 〉}_{c}$ 为平均流中保留的动能。可使用雷诺平均相动量方程从相平均速度的标量积 ${〈 v_{c} 〉}_{c}$ 中衍生该方程。

减去这两个方程即可衍生得出 $k_{c}$ 的方程。然后，瞬时力项（假设与滑移速度 $v_{d} - v_{c}$ 和离散相体积分数 $α_{d}$ 成比例）

f_{c} = \frac{ρ_{d} α_{d}}{τ_{D}} (v_{d} - v_{c})

(2575)

对 $k_{c}$ 方程的贡献如下：

S_{k c} = \bar{v_{c} \cdot f_{c}} - 〈 v_{c} 〉 \cdot \overline{f_{c}} = \bar{{v_{c}}^{"} \cdot f_{c}}

(2576)

= \frac{ρ_{d}}{τ_{D}} \overline{α_{d}} {{〈 {v_{c}}^{"} \cdot {v_{d}}^{"} 〉}_{d} - {〈 {v_{c}}^{"} \cdot {v_{c}}^{"} 〉}_{d} + {〈 {v_{c}}^{"} 〉}_{d} \cdot [{〈 v_{d} 〉}_{d} - {〈 v_{c} 〉}_{c}]}

(2577)

= {A_{c d}}^{D} {{〈 {v_{c}}^{"} \cdot {v_{d}}^{"} 〉}_{d} - {〈 {v_{c}}^{"} \cdot {v_{c}}^{"} 〉}_{d} - v_{T D} \cdot v_{r}}

(2578)

根据上一节曳力对湍流耗散的贡献以及下列恒等式，可使用曳力线性化系数 ${A_{c d}}^{D}$ 和耗散速度 $v_{T D}$ 得出最终结果：

v_{T D} = {〈 v_{c} 〉}_{c} - {〈 v_{c} 〉}_{d} = \frac{\bar{[{〈 v_{c} 〉}_{c} - v_{c}] α_{d}}}{\overline{α_{d}}} = - {〈 {v_{c}}^{"} 〉}_{d}

(2579)

$S_{k c}$ 现在可以借助湍流响应模型或陈氏封闭，并结合以下进一步的近似，进行建模：

{〈 v_{c} \cdot v_{c} 〉}_{d} \approx {〈 v_{c} \cdot v_{c} 〉}_{c} = {2 k}_{c}

(2580)

Eqn. (2578) 中的前两项表示离散-连续速度波动的协方差与连续相的湍动能之间的平衡或传递。

最后一项可视为湍流耗散力与平均滑移速度（或是平均曳力与湍流耗散速度）的点积。其作用取决于这两个矢量的对齐情况。

在充分发展和收敛的管道流中，该点积通常很小，甚至为零。对于水平管道流，此值较小的原因是滑移速度的幅值在充分发展的条件下可能很小。对于垂直管道流，这是因为：尽管滑移不小，但它在充分发展的条件下与体积分数的梯度正交。

但该项可以是正值或负值，并在发展条件下或收敛过程中较大。当平均曳力和湍流耗散力作用于相反的方向时，该项会对连续相湍动能起到一定的促进作用。例如，根据相应的浓度梯度促使颗粒下降或气泡上升。