信号处理概念

信号可以表示为信号强度随时间的振荡变化，或表示为信号强度在一定频率范围内的函数。这两种方法都有其用途。可以通过傅立叶变换将信息从一种形式转换为另一种形式。

时域和频域

所有实际波形的属性是它们可以由某些振幅和频率的多个正弦波组成。在频域而非时域中查看这些波会很有用，因为所有分量更容易展示。

时域中的每个正弦波都由频域中的一条谱线表示。描述波形的系列线称为其频谱。

时域信号转换到频域（及其逆转换）是使用傅立叶变换实现的，定义如下。

\begin{matrix} S_{x} (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} ⅆ t \\ x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} S_{x} (f) e^{j 2 π f t} ⅆ f \end{matrix}

此函数是连续的，并且为了以数字方式使用傅立叶变换，必须在固定限值之间执行数值积分。

傅立叶变换的数字计算称为离散傅立叶变换。它将计算离散点 (mΔf) 处的值，并在固定限值（N 个样本）之间执行数值积分，如下所示。

由于波形是在有限的观察时间内按离散间隔采样的，因此这两个域中都没有确切的表示。这种状况所带来的一些缺点将在后面讨论。

快速傅立叶变换是专用于计算 DFT 的算法。因此，它确定采样的离散化时间信号的谱（频率）内容。得到的频谱也是离散的。反向过程称为逆 FFT 或逆向 FFT。

为了实现高计算性能，FFT 算法要求时间样本数 N 为 2 的幂（例如 2, 4, 8, …, 512, 1024, 2048）。

此类 N 个样本的时间记录称为数据块，其中 N 为块大小。时域中的 N 个样本转换为 N/2 条谱（频率）线。每条线均包含关于幅值和相位的信息。

收集样本块所需的时间为 T。因此，可检测到的最低频率是时间 T 的倒数。

因此，谱线之间的频率间隔为 1/T，而可确定的最高频率为 (N/2) · (1/T)。

可以覆盖的频率范围取决于块大小 N 和采样周期 T。为了覆盖高频，需要快速采样，这意味着采样周期较短。

与数据的离散时间采样相关的另一个问题是泄漏。如下所示的连续正弦波应生成单条谱线。

由于信号是在采样周期 T 内测量的，DFT 假设这始终具有代表性。当正弦波在采样时间窗口中不是周期性时，由于边处的不连续性，导致原始线谱中的能量泄漏。

用户应该意识到泄漏是与数字信号处理相关的最严重问题之一。混叠错误可以通过各种技术减少，但泄漏错误永远无法消除。通过使用不同的激励技术和提高频率分辨率，或者通过使用如下所述的窗口，可以减少泄漏。