多体运动方程

多体运动描述了多个互连刚体的动态行为。 刚体使用不同类型的接头耦合在一起，可以相对于彼此进行平移和旋转。 体的动态行为通过接头处的体运动方程和约束方程来描述。

两个或更多体通过一个或多个接头连接。 接头通过特定的运动学约束来定义。 因此，相对于彼此的体位置会受到运动约束条件的限制。 体连接一节中介绍了体之间的连接类型。

描述多体系统动态行为的常规方程如下：
Mq¨=f
(5077)
其中，q 为广义坐标矢量，f 为广义力，M 为刚体的惯性矩阵的方块对角矩阵：
M=(M1⋯0⋮⋱⋮0⋯Mn)
(5078)

将运动方程与限制体的运动自由度的约束条件结合起来：

ϕ(q,t)=0
(5079)

约束表示为体加速度的线性条件。 求解 Eqn. (5079) 的二阶导数得到：

Jq¨=Q
(5080)

其中，J 为 ϕ 的雅可比矩阵，q¨ 为体的加速度，Q 为不同质性。

为了强制约束的加速度条件，需要将约束力添加到系统中。 通过引入所有约束的拉格朗日乘数 λ，无效的约束力由以下方程给出：

fc=JT⋅λ
(5081)

需要寻找矢量 λ，以便在组合使用约束力 fc 与任何外力 fext（例如重力）时，都能够生成满足约束（由 Eqn. (5080) 给出）的运动。

根据 Eqn. (5081)，可以将 Eqn. (5077) 写为：

Mq¨=JTλ+fext
(5082)
求解 q¨：
q¨=M−1JTλ+M−1fext
(5083)

生成以下线性方程组：

Aλ=b
(5084)
其中：
A=JM−1JT
(5085)
且
b=−JM−1fext+Q
(5086)

λ 通过 Eqn. (5084) 获得。 在已知 λ 的情况下，对 Eqn. (5083) 进行两次积分，获得广义坐标矢量。

约束稳定

要获得坐标矢量 q，需要执行数值积分。 在 Simcenter STAR-CCM+ 中，将按 Eqn. (5080) 给出的加速度形式来施加约束。 对于此类方法，由于存在舍入误差和数值积分误差，因此当然会发生某些约束漂移。 约束稳定的目标是确保此类漂移不会随时间累积并保持在界限之内。

根据 Baumgarte [967]，通过修改 Eqn. (5080) 应用约束稳定：

Jq¨=Q′
(5087)

且：

Q′=Q−2α(Jq˙+∂Φ∂t)−β2Φ
(5088)

其中，α 和 β 为稳定法的参数。