控制方程的电势公式

为了减少方程数，可方便地按以下两个附加场重新设定控制方程：电标势 $ϕ$ 和磁矢势 $A$ 。

Eqn. (618) 和 Eqn. (621) 可用于以标量场 $ϕ$ 和矢量场 $A$ 表示电场 $E$ 和磁通量密度 $B$ ：

E = - \nabla ϕ - \frac{\partial A}{\partial t}

(4305)

B = \nabla \times A

(4306)

其中， $ϕ$ 称为电势， $A$ 称为磁矢势。

根据电势编写 Maxwell 方程可以减少独立方程数，因为 Eqn. (618) 和 Eqn. (621) 变得恒等。但电势并非唯一。为了唯一地定义电势 $A$ ，需要指定旋度和发散。 $A$ 的发散由任意规范条件定义。对于低频电磁场，常用的选择是库仑规范 $\nabla \cdot A = 0$ 。

欧姆定律 (Eqn. (4301)) 可按电势编写为：

J = J_{ϕ} + J_{e d d y} + J_{e x} = - σ \nabla ϕ - σ \frac{\partial A}{\partial t} + J_{e x}

(4307)

其中 $J_{ϕ} = - σ \nabla ϕ$ 为电势的空间变化的贡献， $J_{eddy} = - σ \partial A / \partial t$ 为涡流密度，它与磁矢势的时间变化有关， $J_{e x}$ 考虑电流密度的外部源。外部源包括用户定义源和其他物理模型的源，例如励磁线圈（请参见 Eqn. (4405)）和运动中的导电流体（请参见 Eqn. (4453)）。

在 Eqn. (4307) 中，电流密度的方向从电势值较高的区域到较低区域，这称为电流密度的技术方向。

流经表面 $A$ 的电流 $I$ 定义如下：

I = \int_{A} J \cdot d a

(4308)

静态

对于不随时间变化的场，可忽略 Maxwell 方程中的瞬态项，给出磁矢势和电势的解耦方程。

静电: 对于静态场，可以忽略 Eqn. (4305) 中的瞬态项。因此，电场仅取决于电势：; $E = - \nabla ϕ$
(4309); 作用于电荷 $q$ 的静电力为 $F_{e} = q E$ 。电荷具有量子化性质，仅以元电荷的倍数显示， $e = 1.602176487 \times 10^{- 19}$ C。; 电势可以根据 Eqn. (620) 计算，该方程与 Eqn. (4292) 一起给出：; $- \nabla \cdot (ε \nabla ϕ) = ρ$
(4310); Eqn. (4310) 的 Simcenter STAR-CCM+ 实施将在静电势模型一节中讨论。
静磁: 可根据 Eqn. (619) 计算磁矢势，当忽略瞬态项时，该方程可简化为安培定律：

$\begin{array}{l} \nabla\times \frac{1}{μ} B = J \end{array}$
(4311); 在静磁应用中，可以忽略 Eqn. (4307) 中的瞬态项和电势贡献。通过使用 Eqn. (4293) 和 Eqn. (4306)，安培定律可以写为：; $\nabla \times \frac{1}{μ} \nabla\times A = J_{e x}$
(4312); Eqn. (4312) 的 Simcenter STAR-CCM+ 实施将在磁矢势模型一节中讨论。

导电介质中的低频电磁

对于随时间变化的场，磁场和电场相互耦合。具体来说，时间变化磁场引起对电场有贡献的涡流（请参见 Eqn. (618)）。同样，与电场相关的位移和传导电流对磁场有贡献（请参见 Eqn. (619)）。此公式考虑了导电材料中的低频电磁场，其中传导电流比位移电流大几个数量级， $J ≫ \partial D/ \partial t$ 。在诸如电机、变压器和电气开关的许多工业应用中，电磁现象的时间尺度相对较长，低频假设较合适。

忽略位移电流会将 Eqn. (619) 简化为安培定律 (Eqn. (4311))。此外，对于导电材料，电流密度本质上是不可压缩的，并且 Eqn. (622) 简化为：

\nabla \cdot J = 0

(4313)

将 Eqn. (4293)、Eqn. (4306) 和 Eqn. (4307) 插入 Eqn. (4311) 和 Eqn. (4313) 中将给出：

\nabla \times \frac{1}{μ} \nabla\times A + σ \frac{\partial A}{\partial t} = - σ \nabla ϕ + J_{e x}

(4314)

- \nabla \cdot (σ \nabla ϕ) = \nabla \cdot (σ \frac{\partial A}{\partial t}) - \nabla \cdot J_{e x}

(4315)

Eqn. (4314) 和 Eqn. (4315) 描述导电介质对低频电磁场的响应。这些方程是具有两个未知场 $A$ 和 $ϕ$ 的相互耦合方程组。在 Simcenter STAR-CCM+ 中，两个单独的求解器分别计算 $A$ 和 $ϕ$ 。根据分析要求，可以求解耦合方程组，也可单独求解任一方程以解耦方式计算其中一个电势。Eqn. (4314) 和 Eqn. (4315) 的 Simcenter STAR-CCM+ 实施将在两个单独的章节电动势模型和磁矢势模型中讨论。

求解电势后，电磁场 $E$ 、 $D$ 、 $H$ 和 $B$ 可根据 Eqn. (4305)、Eqn. (4306) 和本构关系计算。

横向磁模式

Eqn. (4314) 考虑了 3D 模式和 2D 横向电 (TE) 模式，其中磁矢势位于由 2D 域定义的平面中。对于 2D 横向磁 (TM) 模式，其中磁矢势与 2D 域垂直，Simcenter STAR-CCM+ 对解耦方程进行求解：

- \nabla\cdot \frac{1}{μ} \nabla A_{n} + σ \frac{\partial A_{n}}{\partial t} = J_{n, e x}

(4316)

$A_{n}$ 和 $J_{n, e x}$ 为横向磁势和电流密度。磁通量密度 $B$ 根据 Eqn. (4306) 计算，切向分量 $A_{t_{1, 2}}$ 始终为零。

Eqn. (4316) 的实施将在横向磁模式一节中讨论。