宽带噪声源模型

对于近场预测，Simcenter STAR-CCM+ 提供了一组能够评估宽带噪声源的模型。噪声源包含四极源的体积分布和偶极源的表面分布。

在频率域中，宽带噪声具有连续的频谱，其中，声能在给定范围内的所有频率处连续分布。这些模型可以计算空气动力生成的主要噪声源的位置和强度。它们使用雷诺平均纳维-斯托克斯 (RANS) 湍流方程的流场物理量。由于这些宽带噪声模型使用 RANS 模拟，因此所需的计算时间很短。

以下宽带噪声源模型对局部声功率执行下列操作：

Curle 噪声源模型: 估计偶极源产生的每单位表面声音
Goldstein 轴对称噪声源模型
Proudman 噪声源模型: 估计四极源产生的每单位体积声音
Lighthill 应力张量模型（已弃用）: 估计流体产生的噪声源
海绵层模型: 抑制虚假反射
网格频率截止分析: 检查网格是否足够精细，可用于求解相关湍流结构

可以将空气动力生成的主要声源分解到剪切噪声项（表示流体的平均剪切速度和湍流速度分量之间的相互作用）和自发噪声项（表示湍流-湍流相互作用）。

声速

远场声速 $c_{0}$ 是声波在单位时间内传播的距离。

c_{0} = \sqrt{(γ {R T}_{0})}

(4800)

其中：

$γ$ 为绝热指数，即，流体恒压热容与恒容热容之比。
$R$ 为通用气体常数。
$T_{0}$ 为绝对温度（以开尔文为测量单位）。

在 293 K 下的干燥空气中，声速为 343.2 m/s。

Curle 噪声源模型

Curle 噪声源模型可计算固体上湍流边界层流的噪声（假设湍流各向同性且马赫数较低）。

此模型通常用于空气调节子系统 (AHS) 应用，其中包括旋转部件（如风机）、热交换器、消声器、分配管和壁面封闭空间。

Curle 模型表示偶极噪声源，即来自作用于流体上的固体边界中波动表面压力的噪声。具体地说，此模型将计算对体表面的单位面积声功率的局部贡献。

根据 Curle [901]，声密度 $ρ'$ 可根据局部贡献写为：

ρ′ (x, t) = \frac{1}{(4 π c_{0}^{3})} \int_{S}^{} [\frac{(x - y)}{r^{2}} \frac{\partial p}{\partial t} (y, t - \frac{r}{c_{0}})] \cdot n d S (y)

(4801)

其中：

$x$ 为远场中的位置，其中 $| x | ≫ λ$ 和 $λ$ 是生成的声音的典型波长，因此 $x$ 位于每个偶极噪声源的辐射场中。
$t$ 为时间。
$c_{0}$ 为 Eqn. (4800) 给出的远场声速。
$y$ 为固体边界表面上的面形心位置。
$r = | x - y |$ 为源和远场位置之间的物理距离。
$p$ 为表面压力。
$t - \frac{r}{c_{0}}$ 为发射时间。
$n$ 为壁面处朝外的单位法向矢量。

基于小扰动和绝热问题假设：

\frac{p}{ρ^{γ}} = const

(4802)

其中：

$ρ$ 为密度。
$γ$ 为恒定压力 ( $C_{P}$ ) 和恒定体积 ( $C_{V}$ ) 下的比热比率。

根据扰动的等熵，声压和密度扰动的变化可以写为：

p′ = c_{0}^{2} ρ′

(4803)

然后，对于声学密度的 Eqn. (4801) 将成为以下声压方程：

p′ (x, t) = \frac{1}{(4 π c_{0})} \int_{S}^{} [\frac{(x - y)}{r^{2}} \frac{\partial p}{\partial t} (y, t - \frac{r}{c_{0}})] \cdot n d S (y)

(4804)

在远场中，固体表面沿 $x - y$ 的每单位表面定向声强 $\bar{{p^{'}}^{2}}$ 根据以下方程粗略计算而得：

\bar{{p^{'}}^{2}} \approx \frac{1}{16 π^{2} c_{0}^{2}} \int_{S}^{} \frac{{(\cos θ)}^{2}}{r^{2}} \bar{{[\frac{\partial p}{\partial t} (y, t - \frac{r}{c_{0}})]}^{2}} A_{c} (y) d S (y)

(4805)

其中：

$A_{c}$ 为声学相关性区域。
$θ$ 为 $r$ 和 $n$ 之间的角度，因此 $| x - y | \cdot n = r \cos (θ)$ 。

可根据以下方程计算对每单位表面声功率的局部贡献的度量（即表面声功率 (SAP)）：

S A P = \frac{1}{ρ_{0} c_{0}} [\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \overline{{p′}^{2}} r^{2} \sin θ d θ d γ]

(4806)

将 Eqn. (4805) 插入 Eqn. (4806) 会给出：

S A P = \frac{1}{12 π ρ_{0} c_{0}^{3}} \int_{S}^{} \bar{{(\frac{\partial p}{\partial t})}^{2}} A_{c} (y) d S (y)

可以将该关系重写为包括声相关性区域公式和表面压力 $\bar{{(\partial p / \partial t)}^{2}}$ 的均方时间导数，如下所示：

S A P = \frac{1}{12 π ρ_{0} c_{0}^{3}} \cdot 4 π^{3} \bar{{({u^{'}}_{turb})}^{2}} {({p^{'}}_{w})}^{2}

其中， $ρ_{0}$ 为远场密度。

对于均方湍流速度 $\bar{{({u^{'}}_{turb})}^{2}}$ 和壁面压力波动 ${p^{'}}_{w}$ ，Hinze [914] 给出：

\bar{{({u^{'}}_{turb})}^{2}} = \frac{2}{3} max (k, \frac{3.3 τ_{w}}{ρ_{0}})

(4807)

{p^{'}}_{w} = max (3 τ_{w}, 0.7 ρ_{0} \cdot \frac{2}{3} k)

(4808)

其中：

$k$ 为湍动能。
$τ_{w}$ 为壁面剪切应力。

可以为使用雷诺平均纳维-斯托克斯 (RANS) 湍流模型（这些模型可提供湍动能和壁面剪切应力）的稳态和非稳态模拟激活 Curle 模型。

可以使用量纲单位 ( ${W/ m}^{2}$ ) 和 dB 报告每单位表面的声功率：

S A P (dB) = 10 \log \frac{S A P}{P_{ref}}

(4809)

其中， $P_{ref}$ 为参考声功率。

Goldstein 轴对称噪声源模型

Goldstein 模型基于 Lighthill 的理论，用于在局部均匀和各向异性湍流的假设下预测湍流剪切流的空气动力噪声。

通过消除雷诺应力的时空相关性的 Ribner 假设，Goldstein [913] 将 Ribner 轴对称湍流模型 [928] 广义化。

此模型可计算轴对称湍流射流中各向异性湍流的每单位体积的局部噪声贡献。

对每单位网格单元体积的总声功率的局部贡献 $G_{A P} (y)$ 计算如下：

G_{A P} (y) = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} {I (r, θ / y) r}^{2} \sin (θ) d θ d γ = 2 π r^{2} \int_{0}^{π} I (r, θ / y) \sin (θ) d θ

(4810)

其中：

$y$ 为固体边界表面上的面形心位置。
$r$ 和 $θ$ 为接收器位置的径向和角度坐标（假设接收器距离流体足够远）。

$I (r, θ / y)$ 为每单位体积射流的定向声强，计算如下：

I (r, θ / y) = \frac{{12 ρ}_{0} {ω_{f}^{4} L}_{1} L_{2}^{2} {(\overline{u_{t l}^{2}})}^{2}}{5 π c_{0}^{5} r^{2}} \frac{D_{self}}{C^{5}} + \frac{{24 ρ}_{0} {ω_{f}^{4} L}_{1} L_{2}^{4} (\overline{u_{t l}^{2}})}{π c_{0}^{5} r^{2}} {(\frac{\partial U}{\partial r})}^{2} \frac{D_{shear}}{C^{5}}

(4811)

其中：

$ρ_{0}$ 为远场密度。
$c_{0}$ 为 Eqn. (4800) 给出的远场声速。

$C$ 为已修正对流因子，定义如下：

C = 1 - M_{c} (\cos θ)

(4812)

其中， $M_{c}$ 为局部马赫数，定义如下：

M_{c} = \frac{| v |}{c_{0}}

(4813)

其中 $v$ 为速度矢量。

假设湍流局部均匀，声强将分解到剪切噪声和自发噪声（无耦合项）：

I (r, θ / y) = I_{self} (r, θ / y) + I_{shear} (r, θ / y)

(4814)

I_{self} (r, θ / y) = \frac{{12 ρ}_{0} {ω_{f}^{4} L}_{1} L_{2}^{2} {(\overline{u_{t l}^{2}})}^{2} D_{self}}{5 π c_{0}^{5} r^{2} C^{5}}

(4815)

I_{shear} (r, θ / y) = \frac{{24 ρ}_{0} {ω_{f}^{4} L}_{1} L_{2}^{4} (\overline{u_{t l}^{2}}) v_{grad}^{2} D_{shear}}{π c_{0}^{5} r^{2} C^{5}}

(4816)

其中， $v_{grad} = \frac{\partial U}{\partial r}$ 。

D_{self} = 1 + 2 (\frac{M}{9} - N) {cos}^{2} θ {sin}^{2} θ + \frac{1}{3} [\frac{M^{2}}{7} + M - 1.5 N (3 - 3 N + \frac{1.5}{Δ^{2}} - \frac{Δ^{2}}{2})] {sin}^{4} θ

(4817)

D_{shear} = {cos}^{2} θ [{cos}^{2} θ + \frac{1}{2} (\frac{1}{Δ^{2}} - 2 N) {sin}^{2} θ]

(4818)

湍流的各向异性结构作用通过以下参数显示：

\begin{matrix} M = {[\frac{3}{2} (Δ - \frac{1}{Δ})]}^{2} N = 1 - \frac{(\bar{u_{t 2}^{2}})}{(\overline{u_{t 1}^{2}})} Δ = \frac{L_{2}}{L_{1}} \\ L_{1} = \frac{{(\overline{u_{t 1}^{2}})}^{\frac{3}{2}} τ^{3}}{l^{2}} L_{2} = \frac{{(\overline{u_{t 2}^{2}})}^{\frac{3}{2}} τ^{3}}{l^{2}} ω_{f} = 2 π (\frac{1}{τ}) \end{matrix}

(4819)

其中， $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 为纵向和横向相关长度（二者不相等）。纵向湍流速度 $\overline{u_{t 1}^{2}}$ 和横向湍流速度 $\overline{u_{t 2}^{2}}$ 在各个方向上都不相等，因此 $N \neq 0$ 且 $Δ \neq 1$ 。在极限情况下，各向同性湍流和方向性表达式变为与 Ribner 模型的这些表达式完全相同，因此 $N = M = 0$ 且 $Δ = 1$ 。

纵向湍流速度 $\overline{u_{t 1}^{2}}$ 和横向湍流速度 $\overline{u_{t 2}^{2}}$ 使用以下关系进行计算：

\begin{matrix} \overline{u_{t 1}^{2}} = \frac{8}{9} (\frac{l^{2}}{τ^{2}}) \overline{u_{t 2}^{2}} = \frac{4}{9} (\frac{l^{2}}{τ^{2}}) \end{matrix}

(4820)

其中：

$τ$ 为湍流时间尺度。
$l$ 为湍流长度比例。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，可以使用量纲单位 ( ${W/ m}^{3}$ ) 和 dB 报告每单位体积的总声功率：

G_{A P} (dB) = 10 log (\frac{G_{A P}}{P_{r e f}})

(4821)

其中， $P_{r e f}$ 为参考声功率。

Proudman 噪声源模型

像 Goldstein 模型一样，Proudman 噪声源模型可计算每单位体积的声功率，且声音来自四极，例如，风机叶片周围的区域。此模型已用于空气调节子系统 (AHS) 应用，包括旋转部件（如风机）、热交换器和分配管。Proudman 模型假设各向同性湍流。

Proudman 认为各向同性湍流会产生噪声。对于不可压缩近流中的各向同性湍流，根据 Proudman 高雷诺数模型，每单位体积的 AP（声功率）为：

A P = α ρ_{0} \frac{u^{3}}{l_{v}} \frac{u^{5}}{c_{0}^{5}}

(4822)

其中：

$α$ 为与纵向速度相关性关联的常数。
$ρ_{0}$ 为远场密度。
$u$ 为速度分量之一的均方根。
$l_{v}$ 为速度的纵向积分长度尺度。
$c_{0}$ 为 Eqn. (4800) 给出的远场声速。

不同的研究人员发现 $α$ 值有所不同，范围为 0.629 到 13。Simcenter STAR-CCM+ 使用 Sarkar 和 Hussaini [930] 提出的重新缩放常数 $α_{c}$ 。

在 Proudman 发表的论文 [927] 中，含能涡的特征速度 $u$ 可以写为：

u = \sqrt{\frac{2}{3} k}

(4823)

其中， $k$ 为湍动能。

根据湍流速度比例和湍流长度尺度，因单位体积的各向同性湍流而产生的局部声功率 ( ${W/ m}^{3}$ ) 将变为：

A P = α_{c} ρ_{0} \frac{υ^{3}}{l} \frac{υ^{5}}{c_{0}^{5}}

(4824)

其中：

$α_{c} = 0.629$ 是基于 Sarkar 和 Hussaini [930] 完成的各向同性湍流直接数值模拟的重新缩放常数。
$υ$ 为湍流速度比例。
$l$ 为湍流长度比例。

可以使用量纲单位 ( ${W/ m}^{3}$ ) 和 dB 报告每单位体积的总声功率：

A P (dB) = 10 log (\frac{A P}{P_{r e f}})

(4825)

其中， $P_{r e f}$ 为参考声功率。

Lighthill 应力张量模型（已弃用）

Lighthill 方程是一个不均匀波方程，通过使用纳维-斯托克斯方程模拟可压缩流体衍生声场（Lighthill 模拟 [918]）。在 Lighthill 方程中，声场由称为 Lighthill 湍流应力张量的二阶张量表示。

根据分量形式，流体质量和动量守恒方程为：

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ ν_{i}) = 0

(4826)

\frac{\partial}{\partial t} (ρ ν_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (ρ ν_{i} ν_{j} + p_{i j}) = 0

(4827)

其中：

$ρ$ 为密度。
$ν_{i}$ 和 $ν_{j}$ 为速度分量。

$p_{i j}$ 为应力张量，定义为：

p_{i j} = {- σ}_{i j} + (p - p_{r e f}) δ_{i j}

(4828)

其中

$p$ 为流场的热力学压力，即，工作压力。
$p_{r e f}$ 为参考压力。
$δ_{i j}$ 为克罗内克增量。

σ_{i j}

为粘性应力张量。

σ_{i j} = μ (\frac{\partial ν_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial ν_{j}}{\partial x_{i}} - \frac{2}{3} \frac{\partial ν_{i}}{\partial x_{i}} δ_{i j})

(4829)

使用爱因斯坦标记法，Lighthill 方程可以写为：

\frac{\partial^{2} ρ}{\partial t^{2}} - c_{0}^{2} (\nabla^{2} ρ) = \frac{\partial^{2} T_{i j}}{(\partial x_{i}) (\partial x_{j})}

(4830)

其中， $T_{i j}$ 为声场的“Lighthill 湍流应力张量”。

T_{i j} = ρ ν_{i} ν_{j} + p_{i j} - c_{0}^{2} (ρ - ρ_{0}) δ_{i j}

(4831)

将 Eqn. (4829) 代入 Eqn. (4831) 可得出：

T_{i j} = ρ ν_{i} ν_{j} - σ_{i j} + δ_{i j} [(p - p_{r e f}) - {c_{0}}^{2} (ρ - ρ_{0})]

(4832)

在层流中，粘性应力张量由以下公式给出：

σ_{i j} = σ_{i j, lam} = μ (\frac{\partial ν_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial ν_{j}}{\partial x_{i}} - \frac{2}{3} \frac{\partial ν_{i}}{\partial x_{i}} δ_{i j})

(4833)

在湍流中，粘性应力张量由以下公式给出：

σ_{i j} = σ_{i j, lam} + σ_{i j, turb} = μ_{e f f} (\frac{\partial ν_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial ν_{j}}{\partial x_{i}} - \frac{2}{3} \frac{\partial ν_{i}}{\partial x_{i}} δ_{i j})

(4834)

其中，有效粘度

μ_{e f f}

为层流粘度

μ

和湍流粘度

μ_{t}

之和：

μ_{e f f} = μ + μ_{t}

(4835)

在无粘性流中，粘性应力张量为 $σ_{i j} = 0$ 。

Eqn. (4832) 中的每个源项表示声音产生期间的一个重要作用，如下所示：

$ρ ν_{i} ν_{j}$ 描述流体的非稳态对流（或雷诺应力）
$σ_{i j}$ 描述声剪切
$δ_{i j} (p - c_{0}^{2} ρ)$ 描述非线性声学产生处理

网格频率截止公式

对稳态求解执行网格频率截止分析的主要价值是，在瞬态计算之前确定所选网格的分辨率是否足以在相关频率范围内捕捉湍流结构。

Mendonça [924] 证明，给定网格单元尺寸 $D$ 和局部湍动能 $k$ ，网格捕捉的最小湍流涡结构长度尺度为 $2 D$ ；其关联的各向同性波动速度为 $\sqrt{(2 / 3) k}$ 。因此，由局部网格间距 $D$ 合理求解的最大频率 $f_{M C}$ 为：

f_{M C} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3} k}}{2 Δ}

(4836)

$k$ 表示平均湍流结构所含的平均湍动能。最常用的 RANS 湍流模型可直接求解 $k$ 传输方程。 $k$ 传输方程直接从非稳态纳维-斯托克斯方程中衍生得出，因此包含所有重要机制的贡献：对流、扩散、生成和耗散。只要捕捉到平均流特征， $k$ 求解就趋向合理地独立于网格。

此度量优先用于衍生自湍流时间尺度的表达式，即，动能与其耗散率之比 $k / ϵ$ 。这可更好地表示耗散尺度，在频率含量和能含量中，这些尺度比人类听力范围或峰值灵敏度高多个数量级。

由于此度量衍生自稳态求解，因此存在一些固有的限制。不考虑与时间变化大尺度运动（通过网格对流传热）关联的频率（例如，涡流脱落）。相反，其用途是近似在 RANS 中建模和在大涡模拟中求解的湍流尺度的频率。换言之，此度量更适用于宽带励磁，而非窄带励磁。

网格频率截止度量已应用于低马赫数流的典型工业应用。