声学模态分析

声学模态分析模型计算给定几何和 CFD 求解的声频、归一化模态形状及其线性增长率。

声波方程

声波方程（不均匀亥姆霍兹方程）描述流体中的声波：

\frac{\partial^{2} p^{'}}{\partial t^{2}} - \nabla\cdot ({\bar{c}}^{2} \nabla p^{'}) = (γ - 1) \frac{\partial {\dot{q}}^{'}}{\partial t}

(4904)

其中

p^{'}

为声压波动，

t

为时间，

\bar{c}

为平均声速，

γ

为比热比，

{\dot{q}}^{'}

为热释放波动。

谐波波动

假设频率的谐波波动

f = \frac{ω}{2 π}

（其中

ω

为复数），则压力波动

p^{'}

和热释放波动

{\dot{q}}^{'}

分别表示为：

p^{'} = \hat{p} e^{(- i ω t)}

(4905)

和

{\dot{q}}^{'} = \hat{q} e^{(- i ω t)}

(4906)

。

其中：

$\hat{p}$ 为压力波动幅值，
$\hat{q}$ 为放热波动幅值。

将 Eqn. (4905) 和 Eqn. (4906) 代入声波方程 Eqn. (4904) 可以得出：

ω^{2} \hat{p} + \nabla\cdot ({\bar{c}}^{2} \nabla \hat{p}) = i ω (γ - 1) \hat{q}

(4907)

假设

p^{'}

且

{\dot{q}}^{'}

表示网格单元中心值，将 Eqn. (4907) 与网格单元体积积分可以得出：

\int ω^{2} \hat{p} d V + \int \nabla\cdot ({\bar{c}}^{2} \nabla \hat{p}) d V = \int i ω (γ - 1) \hat{q} d V

(4908)

离散 Eqn. (4908) 提供以下矩阵特征值方程 - 其特征值是声频

ω

，相应的特征矢量是声学模态形状

\hat{P}

：

[A + ω B (ω) + ω^{2} C] \hat{P} = D (ω) \hat{P}

(4911)

其中矩阵

A

考虑波传播项，

B (ω)

考虑阻抗边界条件，

C

等于标识矩阵

I

（除非使用二次阻抗边界），

D (ω)

则表示火焰传递函数 (FTF) 中的燃烧热释放源项，这是从 Eqn. (4911) 中省略的非反应流体的燃烧热释放源项。（请参见火焰传递函数）。

\hat{P}

是大小为

N_{c e l l s}

的声学模态矢量（特征向量），

ω

是声频（特征值）。

$A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 是尺寸的稀疏矩阵 $N_{c e l l s} \times N_{c e l l s}$ ，其中 $N_{c e l l s}$ 是网格中的网格单元数。在 Eqn. (4908) 中离散扩散项时，Simcenter STAR-CCM+ 提供了包括二阶梯度项或省略该项的选项。

声压

\hat{p}

的相位计算如下：

φ = \arctan (\frac{I m (\hat{p})}{Re (\hat{p})})

(4917)

不稳定模态

声频由实部 (

ω_{r}

) 和虚部 (

ω_{i}

) 组成：

ω = ω_{r} + i ω_{i}

(4918)

使用上述表达式，压力波动可以表示为：

p^{'} = \hat{p} e^{- i ω t} = [\hat{p} e^{ω_{i} t}] e^{- i ω_{r} t}

(4919)

当

ω_{i} < 0

时，压力波动会随时间而衰减，并且模态稳定。如果

ω_{i} > 0

，压力波动会随时间增长，并且模态不稳定。在

ω_{i} = 0

的情况下，压力波动的幅值保持恒定。

边界条件

Simcenter STAR-CCM+ 可通过以下方式定义声学边界条件：

完全反射（硬壁）边界: $\nabla \hat{p} \cdot n_{B C} = 0$

(4920)
其中 $n_{B C}$ 是边界面的外法线方向。
零声压边界: $\hat{p} = 0$

(4921)
指定（恒定）阻抗边界: $\bar{c} Z \nabla \hat{p} \cdot n_{B C} - i ω \hat{p} = 0$

(4922)
其中， $Z$ 是对每个频率都相同的缩减声阻抗。缩减声阻抗指定反射波的幅值和相位。
二次阻抗分布边界: 声学边界条件由 Eqn. (4922) 定义，其中缩减声阻抗是声学频率的函数，因此 $Z \equiv Z (ω)$ ，阻抗使用二次形式指定：

$\frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_{0}} + ω Z_{1} + \frac{Z_{2}}{ω}$

(4923)
其中 $Z_{0}$ 、 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是复数值常数。
指定的表格化阻抗边界: 声学边界条件由 Eqn. (4922) 定义，其中以表格形式指定了缩减声阻抗与频率的关系。