4 自由度操纵运动

考虑只能以恒定速度 V 和恒定航向角度 ψ 移动的体（例如船舶）的运动。此类运动具有四个自由度。对于船舶，自由的自由度是可用作独立变量的摆动、升降、滚动和俯仰运动。

独立坐标可以写为：

q=(yzϕθ)
(5060)

体位置 r 和方向 T 可以写为：

r=(rxryrz)=(−y⋅sin⁡ψ+V⋅t⋅cos⁡ψy⋅cos⁡ψ+V⋅t⋅sin⁡ψz)
(5061)

且

T = ( cos ⁡ θ ⁢ cos ⁡ ψ sin ⁡ φ ⁢ sin ⁡ θ ⁢ cos ⁡ ψ − cos φ ⁢ sin ψ ⁡ cos ⁡ φ ⁢ sin ⁡ θ ⁢ cos ⁡ ψ + sin ⁡ φ ⁢ sin ⁡ ψ cos ⁡ θ ⁢ sin ⁡ ψ sin ⁡ φ ⁢ sin ⁡ θ ⁢ ⁡ sin ψ + cos ⁡ φ ⁢ cos ⁡ ψ cos ⁡ φ ⁢ sin ⁡ θ ⁢ sin ⁡ ψ − sin ⁡ φ ⁢ cos ⁡ ψ − sin ⁡ θ sin ⁡ φ ⁢ cos ⁡ θ cos ⁡ φ ⁢ cos ⁡ θ )
(5062)

对于 4 自由度操纵运动，平移和旋转的雅可比矩阵为：

JT=(−sin⁡ψ000cos⁡ψ0000100)
(5063)
JR=(00cos⁡ψ⁢cos⁡θ−sin⁡ψ00sin⁡ψ⁢cos⁡θcos⁡ψ00−sin⁡θ0)
(5064)
对于 4 自由度操纵运动，一般约束运动方程 (Eqn. (5054)) 中的剩余物理量减少为：
LT=0LR=(000−φ⁢˙cos⁡ψ⁢sin⁡θ000−φ⁢˙sin⁡ψ⁢sin⁡θ000−φ⁢˙⁢cos⁡θ)v'=(V⋅cos⁡ψV⋅sin⁡ψ0)ω'=0v˙'=0ω˙'=0
(5065)