SPH 离散化

在 SPH 中，液体离散化为颗粒的集合。通过考虑相邻颗粒的贡献来计算颗粒的物理属性。指定半径内颗粒对彼此的影响通过使用核函数来定义。

点方程

求解域 $Ω$ ，即 SPH 液相细分为一组点，形成分区 $P (Ω)$ 。分区中的每个点 $i$ 都具有关联的体积 $V_{i}, i \in P (Ω)$ 。这些体积的总和等于求解域的体积。

每个点的位置计算如下：

\frac{{d r}_{i}}{d t} = v_{i}

(1066)

每个点的体积由以下公式给出：

\frac{{d V}_{i}}{d t} = V_{i} \nabla \cdot v_{i} = 0

(1067)

连续性方程: 点 $i$ 的质量守恒由以下公式给出：

$\frac{{d V}_{i} ρ_{i}}{d t} = \frac{{d m}_{i}}{d t} = 0$

(1068)
由于每个点都随时间保持质量守恒，因此可以将这些点标识并称之为颗粒。

动量方程: 质量为 $m_{i}$ 的 SPH 颗粒的动量守恒方程由以下公式给出：

$m_{i} \frac{{d v}_{i}}{d t} + V_{i} \nabla \cdot (p_{i} I) - V_{i} \nabla \cdot T_{i} = V_{i} f_{b, i}$

(1069)

SPH 连续逼近

连续的任意标量场

ϕ

可通过以下公式计算：

ϕ (r) = \int_{Ω} ϕ (r^{'}) δ (r - r^{'}) d r^{'}

(1070)

其中：

$ϕ (r^{'})$ 为相邻点 $r^{'}$ 处标量场的值。
$δ$ 为狄拉克广义函数。
$Ω$ 表示求解域。

标量场 $ϕ$ 的连续 SPH 逼近 $Π_{c}^{R}$ 由以下公式给出：

Π_{c}^{R} (ϕ) (r) = \int_{Ω} ϕ (r^{'}) W (r - r^{'}, R) d r^{'}

(1071)

其中， $W$ 为平滑半径为 $R$ 的各向同性核函数。求解域中的 $W$ 积分等于 1。此逼近的阶数为 $O (R^{2})$ 。

有两个选项可用于对各向同性核函数建模。所有 SPH 插值都使用选定的核函数执行。立方核函数由以下公式给出：

W (r - r^{'}, R) = \frac{48}{π R^{3}} {\begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{6} + q^{2} (1 - q) & 0 \leq q \leq \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} {(1 - q)}^{3} & \frac{1}{2} \leq q \leq 1 \\ 0 & q > 1 \end{matrix}

(1072)

Wendland 核函数 [284] 由以下公式给出：

W (r - r^{'}, R) = \frac{21}{2 π R^{3}} {\begin{matrix} (1 + 4 q) {(1 - q)}^{4} & 0 \leq q \leq 1 \\ 0 & q > 1 \end{matrix}

(1073)

其中， $q = \frac{‖ r - r^{'} ‖}{R}$ 。

SPH 连续逼近的导数计算如下：

\nabla Π_{c}^{R} (ϕ) (r) = Π_{c}^{R} (\nabla ϕ) (r) = \int_{Ω} ϕ (r^{'}) \nabla_{r} W (r - r^{'}, R) d r^{'}

(1074)

SPH 离散逼近

标量场

ϕ

的 SPH 离散逼近

Π_{c}^{R}

通过颗粒的黎曼总和计算得出：

Π_{d}^{R} (ϕ) (r) = \sum_{j \in P (Ω)} V_{j} ϕ (r_{j}) W (r - r_{j}, R)

(1075)

归一化 (Shepard) 逼近用于后处理。邻域

Ω

中位置

r

处场

ϕ

的插值计算如下：

Π_{d}^{R *} (ϕ) (r_{j}) = \frac{\sum_{j \in P (Ω)} V_{j} ϕ_{j} W (r - r_{j}, R_{j})}{\sum_{j \in P (Ω)} V_{j} W (r - r_{j}, R_{j})}

(1076)

SPH 离散逼近的导数计算如下：

\nabla Π_{d}^{R} (ϕ) (r) = \sum_{j \in P (Ω)} V_{j} ϕ (r_{j}) \nabla W (r - r_{j}, R)

(1077)

为了帮助收敛和质量守恒，引入了修正的推导运算符。例如，标量场

ϕ

的梯度

G^{+}

和矢量场

Φ

的发散

D^{-}

由以下公式给出：

G_{i}^{+} (ϕ) (r_{i}) = \sum_{j \in P (Ω)} V_{j} (ϕ (r_{j}) + ϕ (r_{i})) \nabla W (r_{i} - r_{j}, R_{i})

(1078)

D_{i}^{-} (Φ) (r_{i}) = \sum_{j \in P (Ω)} V_{j} (Φ (r_{j}) - Φ (r_{i})) \cdot \nabla W (r_{i} - r_{j}, R_{i})

(1079)

将对颗粒 $i$ 周围的所有颗粒 $j$ 进行求和。在常规 SPH 表示法中，这些公式简写如下：

G_{i}^{+} (ϕ) = \sum_{j} V_{j} (ϕ_{j} + ϕ_{i}) \nabla W_{i j}

(1080)

D_{i}^{-} (Φ) = \sum_{j} V_{j} (Φ_{j} - Φ_{i}) \cdot \nabla W_{i j}

(1081)

其中，

W_{i j} = W (r_{i} - r_{j}, R_{i})

。

标量场

ϕ

的离散拉普拉斯算子

L_{i}^{M o r r i s}

([261]) 由以下公式给出：

L_{i}^{M o r r i s} (ϕ) = \sum_{j} V_{j} 2 (ϕ_{i} - ϕ_{j}) \frac{r_{i} - r_{j}}{{‖ r_{i} - r_{j} ‖}^{2}} \cdot \nabla W_{i j}

(1082)