SPH 边界条件

要完成数学模型，在求解域边界上指定条件。

壁面

壁面边界表示不渗透表面。

在 SPH 中，壁面边界使用幽灵粒子法或边界积分法进行建模。

当粒子靠近壁面时，连续级别的 SPH 推导运算符由两个分量组成：体积项和基于表面的项。在幽灵粒子法中，基于表面的项重新构造为幽灵体积的积分，而在边界积分法中，它仍是基于表面的项：

\nabla Π_{c}^{R} (ϕ) (r) = \int_{Ω} ϕ (r^{'}) \nabla_{r} W (r - r^{'}, R) d r^{'} + \int_{δ Ω} ϕ (r^{'}) W (r - r^{'}, R) n d r^{'}

(1093)

其中为壁面处的法向。 $n$

幽灵粒子法

在这种方法中，幽灵粒子与流体粒子相互作用，并通过将流体域向上延伸到壁面并应用适当的场来满足条件，从而强制执行边界条件。

当颗粒靠近壁面，并且壁延伸超出内核支撑时，将通过用相邻颗粒填充内核支撑来保持一致性。SPH 内核在靠近实体壁面时不会被截断。这是通过在壁面上引入虚拟颗粒 $P (δ Ω)$ 实现的。将向推导运算符添加一个项，以表示幽灵粒子：

\nabla Π_{c}^{R} (ϕ) (r) = \int_{Ω} ϕ (r^{'}) \nabla_{r} W (r - r^{'}, R) d r^{'} + \int_{P (δ Ω)} ϕ (r^{'}) \nabla_{r} W (r - r^{'}, R) d r^{'}

(1094)

在离散级别，压力梯度和速度散度定义为：

G_{i}^{+} (p) = \sum_{j \in P (Ω)} V_{j} (p_{j} + p_{i}) \nabla W_{i j} + \sum_{j \in P (δ Ω)} V_{j} (p_{j} + p_{i}) \nabla W_{i j}

(1095)

D_{i}^{-} (v) = \sum_{j \in P (Ω)} V_{j} (v_{j} - v_{i}) \cdot \nabla W_{i j} + \sum_{j \in P (δ Ω)} V_{j} (v_{j} - v_{i}) \cdot \nabla W_{i j}

(1096)

求和 $\sum_{j \in P (Ω)}$ 针对流体颗粒， $\sum_{j \in P (δ Ω)}$ 针对虚拟颗粒。

要应用边界条件， $j \in P (δ Ω)$ 的虚拟颗粒压力和速度由下式给出：

\begin{matrix} p_{j} = p_{i} - (r_{i} - r_{j}) \cdot f_{b, i} \\ {\begin{matrix} v \end{matrix}}_{j} = 2 v_{w} - v_{i} \end{matrix}

(1097)

其中 $f_{b}$ 为体力的合力， $v_{w}$ 为壁面速度。

边界积分法

SPH 边界积分法 SPH 基于 Chiron 等人[220] 用于对壁面附近颗粒进行建模的方法。该方法通过直接计算边界上的表面积分来施加边界条件。壁面分为若干个表面单元，每个单元的特征是一个法向矢量和一个特定区域。为表示这些面元的影响，额外添加到推导运算符的项由此公式给出：Eqn. (1093)。

由于内核截断，通过应用重新归一化的运算符，可以得到高阶插值运算符，以提高精度。核截断降低了 Eqn. (1093) 中的精度，因此，应用了重整化算子来增强它，这会导致高阶插值运算符由以下公式给出：

\nabla Π_{c}^{R} (ϕ) (r) = \frac{1}{γ (r)} \int_{Ω} ϕ (r^{'}) \nabla_{r} W (r - r^{'}, R) d r^{'} + {\frac{1}{γ (r)} \int}_{δ Ω} ϕ (r^{'}) W (r - r^{'}, R) n d r^{'}

(1098)

其中， $γ (r) = \int_{Ω} W (r - r^{'}) d r^{'}$ 。在远离壁面和自由表面的区域中， $γ (r)$ 简化为 $γ (r) = 1$ 。

在离散级别，压力梯度和速度散度定义为：

G_{i}^{+} (p) = \sum_{j \in P (Ω)} V_{j} (p_{j} + p_{i}) \nabla W_{i j} + \sum_{j \in δ Ω} S_{j} (p_{j} + p_{i}) W_{i j} n_{j}

(1099)

D_{i}^{-} (v) = \sum_{j \in P (Ω)} V_{j} (v_{j} - v_{i}) \cdot \nabla W_{i j} + \sum_{j \in δ Ω} S_{j} (v_{j} - v_{i}) \cdot W_{i j} n_{j}

(1100)

求和 $\sum_{j \in P (Ω)}$ 针对流体颗粒， $\sum_{j \in δ Ω}$ 针对邻近表面网格单元的壁表面单元。

要应用边界条件， $j \in δ Ω$ 的压力和速度由以下公式给出：

{\begin{matrix} p_{j} = p_{i} - (r_{i} - r_{j}) \cdot f_{b, i} \\ {\begin{matrix} v \end{matrix}}_{j} = v_{w} \end{matrix}

(1101)

无滑移壁面: 在无滑移壁面 - 流体粘附于壁面并以与壁面相同的速度移动。因此，对于无滑移壁面，壁面处的流体速度为零。对于粘性流，默认情况下将应用无滑移条件。
滑移壁面: 滑移壁面表示无法穿透但无拉力表面。

壁面处理

壁面附近流体的空间离散化可能过于粗糙，无法对边界层精确建模。因此，引入了壁面处理方法来提高精度。壁面处理使用平滑壁面的标准壁面函数为求解器提供边界条件。

标准壁面函数在壁面边界附近应用物理量的代数逼近，如下所示：

u^{+} = {\begin{matrix} y^{+}, y^{+} \leq y_{m}^{+} \\ \frac{1}{κ} \ln (E y^{+}), y^{+} > y_{m}^{+} \end{matrix}

(1102)

其中：

$y_{m}^{+}$ 对应于粘性子层和对数层求解的理论相交。它使用牛顿-拉夫森法迭代计算。
$E$ 是对数律偏移系数。
$κ$ 为冯·卡门常数。

对于每个壁面函数，

y^{+}

通过壁面参考速度

u^{*}

来估算，该速度使用牛顿-拉夫森法迭代计算。有关详细信息，请参见壁面处理。

流入/流出

以下选项可用于定义 SPH 流模拟的流入和流出条件：

质量流量入口

质量流量进口边界指定边界处的已知质量流率或质量通量（每单位面积的质量流率）。其用于定义跨边界的流入或流出。需遵循符号约定，即对流入使用正值，对流出使用负值。

可以将流向

θ_{s p e c}

指定为垂直于边界、单独的角度分量，也可以直接指定为流向角。相对于流动条件参考坐标系（可以是基准、区域或局部参考坐标系）来指定流动条件。

指定质量流率时，进口边界处的颗粒速度计算如下：

v = \frac{{\dot{m}}_{s p e c}}{ρ A} θ_{s p e c}

(1103)

其中：

$ρ$ 为流体密度。
$A$ 为有效边界面积，其中还考虑了颗粒离散化。

指定质量通量时，进口边界处的颗粒速度计算如下：

v = \frac{{\dot{m}}_{s p e c}^{''}}{ρ} θ_{s p e c}

(1104)

速度入口

速度入口边界条件将已知速度定义为矢量或幅值和方向。其可用于指定跨边界的流入和流出。需遵循符号约定，即对流入使用正值，对流出使用负值。

可以将流向 $θ_{s p e c}$ 指定为垂直于边界、单独的角度分量，也可以直接指定为流向角。相对于流动条件参考坐标系（可以是基准、区域或局部参考坐标系）来指定流动条件。

在入口处，当使用幅值和方向时，颗粒速度指定为 $v = v_{s p e c} \cdot θ_{s p e c}$ ，或者在提供速度矢量时简单地指定为 $v_{spec}$ 。

如果规定速度（相对于运动）的方向与边界法向相反，则相对速度无效，以防止回流。

出口

出口边界条件表示流出，其中质量流率在出口边界处指定。只能为质量流率指定正值。出口边界处的颗粒速度计算如下：

v = \frac{{\dot{m}}_{s p e c}}{ρ A} n

where $n$ is the boundary normal unity vector.

(1106)

(1105)

压力出口

压力出口边界为施加工作压力的流出条件。此边界压力可以视为流体进入的环境的静压。静压

p_{s}

在边界处被分配指定压力：

p_{s} = p_{s p e c}

(1107)