Spalart-Allmaras 模型

Spalart-Allmaras 湍流模型可对已修正扩散率 $\tilde{ν}$ 的传输方程进行求解，以确定湍流涡粘度。

此方法与很多早期的单方程模型不同，这些模型求解湍动能传输的方程，并且需要长度尺度的代数规范。（请参见 [295]。）

该原始模型主要开发用于航空航天工业，并且具有易于在非结构化 CFD 求解器中实现的优势（与诸如 Baldwin-Lomax [289] 和 Johnson-King [291] 模型等更传统的航空航天模型不同）。由于非结构化 CFD 方法在航空航天工业中的应用日益广泛，此优势让该原始模型的受欢迎程度持续提高。

原始 Spalart-Allmaras 湍流模型的作者提供了关于相连边界层且流体轻微分离（如经过机翼的流体）的结果。对于这些情况下的流体类型，可以期待模型产生最佳结果。Wilcox [296] 为模型提供自由剪切流扩散率。虽然可以为尾流、混合层和径向射流获得可接受的结果，但是平面射流和圆柱射流的预测扩散率并不精确。因此 Wilcox 总结，该模型不适合涉及类似射流的自由剪切区域的应用。此外，与诸如 K-Epsilon 和 K-Omega 或者雷诺应力传输等双方程模型相比，该模型可能也不太适合涉及复杂再循环和体积力（如浮力）的流体。

标准的 Spalart-Allmaras 模型是低雷诺数模型，这意味着会在不具有壁面函数的情况下应用该模型。根据该模型公式，可以准确地求解包括粘性子层在内的整个湍流边界层，并且可以对精细网格（较小的 $y^{+}$ 值）应用该模型。在 Simcenter STAR-CCM+ 中，此模型也可用于全 $y^{+}$ 壁面处理。要考虑湍流的各向异性，Simcenter STAR-CCM+ 提供了二次本构关系。

湍流粘度关系

湍流涡粘度 $μ_{t}$ 计算如下：

μ_{t} = ρ f_{v 1} \tilde{ν}

(1130)

其中：

$ρ$ 为密度。
$f_{v 1}$ 为阻尼函数。

传输方程

在 Spalart-Allmaras 模型的标准版本中，已修正扩散率 $\tilde{ν}$ 的传输方程以非守恒形式 [292] 写入。但是，为了与其他湍流模型保持一致，Simcenter STAR-CCM+ 还提供了传输方程的守恒形式。根据选定的传输方程选项， $\tilde{ν}$ 的传输方程定义如下：


传输方程选项	公式
标准（非保守形式）	$\frac{\partial}{\partial t} (\tilde{ν}) + \nabla\cdot (\tilde{ν} \bar{v}) = \begin{matrix} \frac{1}{σ_{\tilde{ν}}} \nabla\cdot [(\frac{μ}{ρ} + \tilde{ν}) \nabla \tilde{ν}] + P_{\tilde{ν}} {+ S}_{\tilde{ν}} \end{matrix}$ (1131)
非标准（守恒形式）	$\frac{\partial}{\partial t} (ρ \tilde{ν}) + \nabla\cdot (ρ \tilde{ν} \bar{v}) = \begin{matrix} \frac{1}{σ_{\tilde{ν}}} \nabla\cdot [(μ + ρ \tilde{ν}) \nabla \tilde{ν}] + P_{\tilde{ν}} {+ S}_{\tilde{ν}} \end{matrix}$ (1132)

其中：

$\bar{v}$ 为平均速度。
$σ_{\tilde{ν}}$ 为模型系数。
$μ$ 为动力粘度。
$P_{\tilde{ν}}$ 为结果项。
$S_{\tilde{ν}}$ 为用户指定的源项。

结果项

结果项 $P_{\tilde{ν}}$ 定义为：

P_{\tilde{ν}} = D_{\tilde{ν}} + G_{\tilde{ν}} - ϒ_{\tilde{ν}}

(1133)

其中，作用于结果项的效应为：


	描述	公式对于标准格式（请参见 Eqn. (1131)）。	公式对于非标准表单（请参见 Eqn. (1132)）。
$D_{\tilde{ν}}$	非守恒扩散	$\frac{C_{b 2}}{σ_{\tilde{ν}}} (\nabla \tilde{v} \cdot \nabla \tilde{v})$ (1134)	$ρ \frac{C_{b 2}}{σ_{\tilde{ν}}} (\nabla \tilde{v} \cdot \nabla \tilde{v})$ (1135)
$G_{\tilde{ν}}$	湍流结果	${(f_{r 1} - f_{t 2}) C}_{b 1} \tilde{S} \tilde{ν}$ (1136)	${ρ (f_{r 1} - f_{t 2}) C}_{b 1} \tilde{S} \tilde{ν}$ (1137)
$ϒ_{\tilde{ν}}$	湍流耗散	$(C_{w 1} f_{w} - \frac{C_{b 1}}{κ^{2}} f_{t 2}) {(\frac{\tilde{ν}}{d})}^{2}$ (1138)	$ρ (C_{w 1} f_{w} - \frac{C_{b 1}}{κ^{2}} f_{t 2}) {(\frac{\tilde{ν}}{d})}^{2}$ (1139)

其中：

$C_{b 2}$ 为模型系数。
$f_{t 2}$ 为阻尼函数。
$C_{b 1}$ 为模型系数。
$f_{r 1}$ 是系统旋转和流线曲率的修正项，由 Eqn. (1271) 给出。
$\tilde{S}$ 为变形参数。
$C_{w 1} = \begin{matrix} \frac{C_{b 1}}{κ^{2}} + \frac{1 + C_{b 2}}{σ_{\tilde{ν}}} \end{matrix}$
$f_{w} = g {(\frac{1 + C_{w 3}^{6}}{g^{6} + C_{w 3}^{6}})}^{1 / 6}$
其中：
- $g = r + C_{w 2} (r^{6} - r)$
- $r = \min (\frac{\tilde{ν}}{\tilde{S} κ^{2} d^{2}}, 10)$
- $C_{w 2}$ 和 $C_{w 3}$ 为模型系数。
$κ$ 为冯·卡门常数，请参见模型系数。
$d$ 为与壁面的距离。

畸变参数

畸变参数 $\tilde{S}$ 计算如下：

\tilde{S} = \hat{S} + \frac{\tilde{ν}}{κ^{2} d^{2}} f_{v 2}

(1140)

其中：

$f_{v 2}$ 为阻尼函数。

为标量变形 $\hat{S}$ 的计算提供了两个替代方法。原始模型使用涡旋的幅值：

\hat{S} = W

(1141)

其中：

$W$ 由 Eqn. (1113) 给出。

Dacles-Mariani 等人的 [290] 中建议的替代方法将应变率与涡旋张量幅值相组合，如下所示：

\hat{S} = W + C_{prod} min [0, S - W]

(1142)

其中：

$C_{prod}$ 为模型系数。
$S$ 由 Eqn. (1111) 给出。

根据 NASA 命名规则 [292]，具有标量变形公式（如 Eqn. (1142) 所示）的 Spalart-Allmaras 模型，对应于具有旋转校正的 Spalart-Allmaras 模型 (SA-R)。

阻尼函数

对于求解粘性层和缓冲层的湍流模型，阻尼函数会模拟壁面附近湍流混合的降低。


$f_{v 1}$	$f_{v 2}$	$f_{t 2}$
$\frac{χ^{3}}{χ^{3} + C_{v 1}^{3}}$ (1143)	$1 - \frac{χ}{1 + χ f_{ν 1}}$ (1144)	$C_{t 3} exp (- C_{t 4} χ^{2})$ (1145)

其中：

$χ = \frac{\tilde{ν}}{ν}$
$C_{ν 1}$ 、 $C_{t 3}$ 和 $C_{t 4}$ 为模型系数。

模型系数


$C_{b 1}$	$C_{b 2}$	$C_{t 3}$	$C_{t 4}$	$C_{w 2}$	$C_{w 3}$
0.1355	0.622	1.2	0.5	0.3	2


$κ$	$σ_{\tilde{ν}}$	$C_{v 1}$	$C_{prod}$
0.41	2/3	7.1	2