K-Omega 模型

K-Omega 湍流模型是双方程模型，它可对湍动能 $k$ 和单位耗散率 $ω$ （即每单位湍动能的耗散率 ( $ω \propto ε / k$ )）的传输方程进行求解，以确定湍流涡粘度。

D.C. Wilcox [321] 撰写的书籍是有关 K-Omega 模型最全面的参考。该书籍阐述了原始模型以及与其他模型的对比，并提出了该模型的最新版本。作为 K-Omega 模型的创始人，Wilcox 声明了自己创建的模型与 K-Epsilon 模型相比的优势，以及 Omega 传输方程与其他尺度方程相比的优势。

与 K-Epsilon 模型相比，K-Omega 模型的一个已知优势是在反压力梯度下，边界层的性能有所改进。但是，最显著的优势可能是在整个边界层（包括粘性主导的区域）中均可应用该模型，而无需进一步修改。此外，可以在此模式下使用标准 K-Omega 模型，而无需计算壁面距离。

K-Omega 模型最大的劣势在于其原始形式的边界层计算对自由流中 $ω$ 的值非常敏感。这将转化为对内部流的入口边界条件的极端灵敏度，而 K-Epsilon 模型中不存在此问题。Simcenter STAR-CCM+ 中包括的 K-Omega 模型变体已经过修改，尝试解决此问题。

模型变体

Simcenter STAR-CCM+ 中实现了 K-Omega 模型的以下两个变体：


模型变体	缩写
标准 K-Omega	SKO
SST K-Omega	SSTKO

标准 K-Omega

Wilcox 于 1998 年修改了原始模型，然后在 2006 年修改了原始版本 (1988) 中的几个已知缺陷。这些修订版包括：

一组修订的模型系数
两次考虑了对自由流/入口条件灵敏度的校正，均基于 $\nabla k$ 和 $\nabla ω$ 的乘积。1998 年引入的首个模型是在湍动能方程基础上进行修改得到的模型。最新的修订版 [322] 中引入了交叉扩散项，它与 SST K-Omega 模型中使用的项类似。
提高了模型自由剪切流扩散率的校正
可压缩性校正
低雷诺数校正，使 K-Omega 模型能够更好地用来预测低雷诺数和转换流

但是，Wilcox 在书中发布的验证结果通常为二维结果，主要是抛物线和流体。在复杂流的进一步验证得到广泛发布之前，应谨慎使用校正。因此，每个校正作为选项包括在 Simcenter STAR-CCM+ 中。

SST K-Omega

Menter [316] 解决了自由流/入口条件的灵敏度问题，他发现标准 K-Epsilon 模型的 $ε$ 传输方程可通过变量替换转换为 $ω$ 传输方程。

转换的方程与标准 K-Omega 模型中的方程看起来相似，但增加了一个额外的非守恒交叉扩散项，该项包含了点积 $\nabla k \cdot \nabla ω$ 。通过将此项纳入到 $ω$ 传输方程中，可能会使 K-Omega 模型给出与 K-Epsilon 模型相同的结果。Menter 建议使用混合函数（包括壁面距离函数），该函数包括远离壁面而不是靠近壁面的交叉扩散项。此方法将远场中的 K-Epsilon 模型与近壁面的 K-Omega 模型有效混合在一起。纯化论者可能认为混合函数交叉位置为任意位置，且可能会掩盖湍流的某些关键特征。但事实上，这种方法仍可解决将 K-Omega 模型应用于实际流体模拟的最大缺点。

Menter 还引入了对线性本构方程的修正，并将包含此修正的模型命名为 SST（剪切应力传输）K-Omega 模型。但是，雷诺应力与平均应变率之间的线性关系非常易于低估湍流各向异性。湍流在大多数复杂流（例如，强旋流、流线曲率、剪切层或边界层流体）中为各向异性。雷诺应力的各向异性不仅影响流场，而且影响标量（温度、浓度、被动标量）的湍流传输。

考虑到湍流的各向异性，Simcenter STAR-CCM+ 提供了以下非线性本构关系：

二次 — 由 Spalart [318] 提议。
三次 — 由 Wallin 和 Johansson [320] 提出，并由 Hellsten [315] 进一步改进

三次本构关系衍生自雷诺应力模型，因此表示显式代数雷诺应力模型 (EARSM)。在各向异性湍流中，雷诺应力传输模型相比涡流粘度模型表现更佳，但在复杂流中使用时通常不稳定。因此，三次模型是这两个模型之间一个很好的平衡方法。

SST 模型已在航空航天工业中得到广泛应用。在航空航天工业中，通常会对粘性流进行求解，并在整个边界层中应用湍流模型。

湍流粘度关系

湍流涡粘度 $μ_{t}$ 计算如下：

μ_{t} = ρ k T

(1193)

其中：

$ρ$ 为密度。
$T$ 为湍流时间尺度。

湍流时间尺度是使用德宾的可实现性约束 [314] 或“涡流限制器”可实现性选项 [303]（仅适用于流体体积 (VOF) 多相波流）计算的。

湍流涡粘度的湍流时间尺度计算如下：


模型变体	$T$	$T$ 采用“德宾尺度限制器”可实现性选项	$T$ 采用“涡流限制器”可实现性选项
SKO	$\begin{matrix} \frac{α^{*}}{ω} \end{matrix}$ (1194)	$\begin{matrix} \min (\frac{α^{*}}{ω}, \frac{C_{T}}{\sqrt{3} S}) \end{matrix}$ (1195)	$\begin{matrix} \min (\frac{α^{}}{ω}, \frac{C_{T}}{\sqrt{3} S}, \frac{β^{} α}{β λ_{2}} \frac{W^{2}}{S^{2}} \frac{1}{ω}) \end{matrix}$ (1196)
SSTKO	$\begin{matrix} \min (\frac{α^{*}}{ω}, \frac{a_{1}}{S F_{2}}) \end{matrix}$ (1197)	$\begin{matrix} min (\frac{1}{max (ω / α^{*}, (S F_{2}) / a_{1})}, \frac{C_{T}}{\sqrt{3} S}) \end{matrix}$ (1198)	$\begin{matrix} min (\frac{1}{max (\frac{ω}{α^{}}, \frac{S F_{2}}{a_{1}}, λ_{2} \frac{β}{β^{} α} \frac{S^{2}}{W^{2}} ω)}, \frac{C_{T}}{\sqrt{3} S}) \end{matrix}$ (1199)

其中：

$α^{*}$ 、 $a_{1}$ 和 $C_{T}$ 为模型系数。
$λ_{2} \frac{β}{β^{*} α}$ 为涡流系数。请参见模型系数。
$S$ 由 Eqn. (1111) 给出。

$F_{2}$ 为混合函数，计算如下：

F_{2} = \tanh ({(max (\frac{2 \sqrt{k}}{β^{*} ω d}, \frac{500 ν}{d^{2} ω}))}^{2})

(1200)

其中：

$β^{*}$ 为模型系数。
$d$ 为与壁面的距离。

对于 SSTKO，Menter 的原始模型 [316] 使用涡旋张量的模量，而不是

S

。此轻微修改将模型的适用性扩展到空气动力应用范围以外。此外，使用德宾的可实现性约束而不是 Menter 的建议 — 将湍流结果限制为耗散的几倍。

传输方程

动能 $k$ 和单位耗散率 $ω$ 的传输方程为：

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} (ρ k) + \nabla\cdot (ρ k \bar{v}) = \end{matrix} \begin{matrix} \nabla\cdot [(μ + {σ_{k} μ}_{t}) \nabla k] + P_{k} - ρ β^{*} f_{β^{*}} (ω k - {ω_{0} k}_{0}) + S_{k} \end{matrix}

(1201)

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} (ρ ω) + \nabla\cdot (ρ ω \bar{v}) = \end{matrix} \begin{matrix} \nabla\cdot [((μ + {σ_{ω} μ}_{t}) \nabla ω] + P_{ω} - ρ β f_{β} (ω^{2} - ω_{0}^{2}) + S_{ω} \end{matrix}

(1202)

其中：

$\bar{v}$ 为平均速度。
$μ$ 为动力粘度。
$σ_{k}$ 和 $σ_{ω}$ 、 $C_{ε 1}$ 、 $C_{ε 2}$ 为模型系数。
$P_{k}$ 和 $P_{ω}$ 为结果项。
$f_{β^{*}}$ 为自由剪切修正因子。
$f_{β}$ 为涡流延伸修正因子。
$S_{k}$ 和 $S_{ω}$ 为用户指定的源项。
$k_{0}$ 和 $ω_{0}$ 为阻止湍流衰减的环境湍流值 [319]。

结果项

结果项 $P_{k}$ 和 $P_{ω}$ 的公式取决于 K-Omega 模型变体：


模型变体	$P_{k}$	$P_{ω}$
SKO	$G_{k}$	$G_{ω}$
SSTKO	$G_{k} + G_{n l}$	$G_{ω} + D_{ω}$

其中：

对结果项的贡献如下：


	描述	公式	其中：
$G_{k}$	湍流结果	$μ_{t} f_{c} S^{2} - \frac{2}{3} ρ k \nabla\cdot \bar{v} {- \frac{2}{3} μ}_{t} {(\nabla\cdot \bar{v})}^{2}$ (1203)	$f_{c}$ 为 Eqn. (1272) 给出的曲率校正因子。
$G_{n l}$	“非线性”结果	$\begin{matrix} (T_{RANS, N L}) : \nabla \bar{v} \end{matrix}$ (1204)	$T_{RANS, N L}$ 为非线性本构关系。
$G_{ω}$	单位耗散结果	SKO： $ρ α [({α^{*} S}^{2} - \frac{2}{3} {(\nabla\cdot \bar{v})}^{2}) - \frac{2}{3} ω \nabla\cdot \bar{v}]$ (1205) SSTKO： $ρ γ [(S^{2} - \frac{2}{3} {(\nabla\cdot \bar{v})}^{2}) - \frac{2}{3} ω \nabla\cdot \bar{v}]$ (1206)	$α$ 、 $α^{*}$ 和 $γ$ 为模型系数。
$D_{ω}$	交叉扩散项	$2 ρ (1 - F_{1}) σ_{ω_{2}} \frac{1}{ω} \nabla k \cdot \nabla ω$ (1207)	$F_{1}$ 由 Eqn. (1215) 给出。 $σ_{ω_{2}}$ 为模型系数。

模型系数


系数	SKO	SSTKO
$a_{1}$	-	0.31
$α$	0.52	-
$α^{*}$	1	$F_{1} α_{1}^{} + (1 - F_{1}) α_{2}^{}$ (1208)
$α_{1}^{*}$	-	1
$α_{2}^{*}$	-	1
$β$	0.072	$F_{1} β_{1} + (1 - F_{1}) β_{2}$ (1209)
$β_{1}$	-	0.075
$β_{2}$	-	0.0828
$β^{*}$	0.09	0.09
$γ$	-	$F_{1} γ_{1} + (1 - F_{1}) γ_{2}$ (1210)
$γ_{1}$	-	$\frac{β_{1}}{β^{}} - σ_{ω_{1}} \frac{κ^{2}}{\sqrt{β^{}}}$ (1211)
$γ_{2}$	-	$\frac{β_{2}}{β^{}} - σ_{ω_{2}} \frac{κ^{2}}{\sqrt{β^{}}}$ (1212)
$κ$	-	0.41
$σ_{k}$	0.5	$F_{1} σ_{k_{1}} + (1 - F_{1}) σ_{k_{2}}$ (1213)
$σ_{k_{1}}$	-	0.85
$σ_{k_{2}}$	-	1
$σ_{ω}$	0.5	$F_{1} σ_{ω_{1}} + (1 - F_{1}) σ_{ω_{2}}$ (1214)
$σ_{ω_{1}}$	-	0.5
$σ_{ω_{2}}$	-	0.856
$C_{T}$	0.6	0.6
$λ_{2} \frac{β}{β^{*} α}$	0.075	0.075

混合函数 $F_{1}$ 将系数的近壁贡献与其远离壁面的值相结合，定义如下：

F_{1} = \begin{matrix} \tanh ({[min (max (\frac{\sqrt{k}}{0.09 ω d}, \frac{500 ν}{d^{2} ω}), \frac{2 k}{d^{2} {CD}_{k ω}})]}^{4}) \end{matrix}

(1215)

其中：

$d$ 为与壁面的距离。
$ν$ 为运动粘度。
${CD}_{k ω} = max (\frac{1}{ω} \nabla k \cdot \nabla ω, 10^{- 20})$ （交叉扩散系数）