K-Epsilon 模型

K-Epsilon 湍流模型是双方程模型，它可对湍动能 $k$ 和湍流耗散率 $ε$ 的传输方程进行求解，以确定湍流涡粘度。

K-Epsilon 模型的各种形式已投入使用数十年，如今它已成为工业应用中最广泛使用的模型。自 K-Epsilon 模型问世以来，已进行了无数次改进。最显著的改进已包含在 Simcenter STAR-CCM+ 中。

高雷诺数方法

Jones 和 Launder [299] 创建的原始 K-Epsilon 湍流模型已应用于壁面函数。后来，此高雷诺数方法经过修改，可以考虑到使用低雷诺数方法和两层方法的壁面（粘性和缓冲层）的阻塞效应。

低雷诺数方法

最常用的方法是将阻尼函数应用于模型中的部分或全部系数（ $C_{μ}$ 、 $C_{ε 1}$ 和 $C_{ε 2}$ ）。这些阻尼函数将系数调整为湍流雷诺数的函数，通常也包含壁面距离。本文提及了数十种包含阻尼函数的模型，其中标准 K-Epsilon 低雷诺数模型已包含在 Simcenter STAR-CCM+ 中。

两层方法

两层方法由 Rodi [306] 首次提出，它是低雷诺数方法的替代方法，可以将 K-Epsilon 模型应用于粘性影响层（包括粘性子层和缓冲层）。

在此方法中，计算将分为两层。在壁面旁边的层中，湍流耗散率和湍流粘度均被指定为壁面距离的函数。 $ε$ $μ_{t}$ 近壁层中指定的值将与远离壁面的传输方程求解值平滑混合。 $ε$ 系统将对整个流体域的湍动能方程进行求解。这种显式指定和的方法经验并不亚于阻尼函数方法，其结果可与之媲美，甚至更出色。 $ε$ $μ_{t}$

如今已提出多种类型的两层公式，且有三种已在 Simcenter STAR-CCM+ 中实现，其中两种公式用于剪切驱动流体，一种用于浮力驱动流体：

剪切驱动 (Wolfstein)
剪切驱动 (Norris-Reynolds)
浮力驱动（徐氏）

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，两层公式可使用低雷诺数类型网格 $y^{+} \sim 1$ 或壁面函数类型网格 $y^{+} > 30$ 。

模型变体

Simcenter STAR-CCM+ 中实现了 K-Epsilon 模型的以下六个变体：


模型变体	缩写
标准 K-Epsilon	SKE
标准 K-Epsilon 两层模型	SKE 2L
标准 K-Epsilon 低雷诺数	SKE LRe
可实现 K-Epsilon	RKE
可实现的 K-Epsilon 两层模型	RKE 2L

标准 K-Epsilon

标准 K-Epsilon 模型是双方程模型的实际标准版本，它包括湍动能 $k$ 及其耗散率 $ε$ 的传输方程。传输方程采用的形式由 Jones 和 Launder [299] 提出，其系数由 Launder 和 Sharma [302] 提出。Simcenter STAR-CCM+ 中的模型已增加一些额外项，以考虑浮力和可压缩性效应。此外，还提供了一个可选的非线性本构关系。

标准 K-Epsilon 两层模型

标准 K-Epsilon 两层模型将标准 K-Epsilon 模型与两层方法相结合。

模型中的系数均相同，但该模型还可以为全壁面处理带来更多灵活性。 $y^{+}$

标准 K-Epsilon 低雷诺数

标准 K-Epsilon 低雷诺数模型将标准 K-Epsilon 模型与低雷诺数方法相结合。

Lien 等人创建的低雷诺数模型称为“标准低雷诺数 K-Epsilon 模型”，因为它具有与标准 K-Epsilon 模型相同的系数，但提供更多阻尼函数。这些函数可使该模型适用于近壁面的粘性影响区域。建议将此模型应用于自然对流问题，尤其是在调用 Yap 校正时更是如此。（请参见 [304]。）

可实现 K-Epsilon

可实现 K-Epsilon 模型包含湍流耗散率 [308] 的新传输方程。 $ε$ 此外，变量阻尼函数（表示为平均流和湍流属性的函数）应用于模型的临界系数。 $f_{μ}$ $C_{μ}$ 此过程可使模型满足与湍流物理（可实现性）一致的法向应力上的特定数学约束。阻尼的概念也与边界层中的实验观察结果一致。 $C_{μ}$

在很多应用中，此模型实际上优于标准 K-Epsilon 模型，通常至少可提供同样精确的结果。标准模型和可实现的模型均已通过两层方法选项在 Simcenter STAR-CCM+ 中提供，可使它们与精细网格一同使用，从而对粘性子层进行求解。

可实现的 K-Epsilon 两层模型

可实现的 K-Epsilon 两层模型将可实现 K-Epsilon 模型与两层方法相结合。

模型中的系数均相同，但该模型还可以为全 $y^{+}$ 壁面处理带来更多灵活性。

湍流粘度关系

湍流涡粘度 $μ_{t}$ 计算如下：

μ_{t} = ρ C_{μ} f_{μ} k T

(1149)

其中：

$ρ$ 为密度。
$C_{μ}$ 为模型系数。
$f_{μ}$ 为阻尼函数。
$T$ 为湍流时间尺度。

湍流时间尺度是使用德宾的可实现性约束 [314] 或“涡流限制器”可实现性选项 [303]（仅适用于流体体积 (VOF) 多相波流）计算的。

湍流涡粘度的湍流时间尺度计算如下：


模型变体	$T$	$T$ 采用“德宾尺度限制器”可实现性选项	$T$ 采用“涡流限制器”可实现性选项
SKE	$\max (T_{e}, C_{t} \sqrt{\frac{ν}{ε}})$ (1150)	$\max (\min (T_{e}, \frac{C_{T}}{C_{μ} f_{μ} S}), C_{t} \sqrt{\frac{ν}{ε}})$ (1151)	$\max (\min (\frac{T_{e}}{\max (1, λ_{2} C_{ϵ 2} / C_{ϵ 1} S^{2} / W^{2})}, \frac{C_{T}}{C_{μ} f_{μ} S}), C_{t} \sqrt{\frac{ν}{ε}})$ (1152)
SKE 2L
SKE LRe
RKE	$T_{e}$	-	$T_{e} \frac{1}{\max ({1, λ}_{2} \frac{C_{ε 2}}{C_{ε 1}} \frac{S^{2}}{W^{2}})}$ (1153)
RKE 2L	$T_{e}$	-

其中：

$T_{e} = \frac{k}{ε}$ 为大涡时间尺度。
$C_{t}$ 、和 $C_{T}$ 为模型系数。
$λ_{2} \frac{C_{ϵ 2}}{C_{ϵ 1}}$ 为涡流系数。请参见模型系数。
$ν$ 为运动粘度。
$S$ 由 Eqn. (1111) 给出。

输运方程

动能 $k$ 和湍流耗散率 $ε$ 的传输方程为：

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} (ρ k) + \nabla\cdot (ρ k \bar{v}) = \end{matrix} \begin{matrix} \nabla\cdot [(μ + \frac{μ_{t}}{σ_{k}}) \nabla k] + P_{k} - ρ (ε - ε_{0}) + S_{k} \end{matrix}

(1154)

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} (ρ ε) + \nabla\cdot (ρ ε \bar{v}) = \end{matrix} \begin{matrix} \nabla\cdot [(μ + \frac{μ_{t}}{σ_{ε}}) \nabla ε] + \frac{1}{T_{e}} C_{ε 1} P_{ε} - C_{ε 2} f_{2} ρ (\frac{ε}{T_{e}} - \frac{ε_{0}}{T_{0}}) + S_{ε} \end{matrix}

(1155)

其中：

$\bar{v}$ 为平均速度。
$μ$ 为动力粘度。
$σ_{k}$ 、 $σ_{ε}$ 、 $C_{ε 1}$ 和 $C_{ε 2}$ 为模型系数。
$P_{k}$ 和 $P_{ε}$ 为结果项。
$f_{2}$ 为阻尼函数。
$S_{k}$ 和为用户指定的源项。 $S_{ε}$

$ε_{0}$ 为源项中抵消湍流衰减 [309] 的环境湍流值。可以施加环境源项还会导致单位时间尺度 $T_{0}$ 的定义如下：

T_{0} = \max (\frac{k_{0}}{ε_{0}}, C_{t} \sqrt{\frac{ν}{ε_{0}}})

(1156)

其中：

$C_{t}$ 为模型系数。

结果项

结果项 $P_{k}$ 和 $P_{ε}$ 的公式取决于 K-Epsilon 模型变体：


模型变体	$P_{k}$	$P_{ε}$
SKE	$G_{k} + G_{n l} + G_{b} - ϒ_{M}$ (1157)	$G_{k} + G_{n l} + {C_{ε 3} G}_{b}$ (1158)
SKE 2L	$G_{k} + G_{n l} + G_{b} - ϒ_{M}$ (1159)	$G_{k} + G_{n l} + {C_{ε 3} G}_{b} + \frac{ρ}{C_{ε 1}} ϒ_{y}$ (1160)
SKE LRe	$G_{k} + G_{n l} + G_{b} - ϒ_{M}$ (1161)	$G_{k} + G_{n l} + G' + {C_{ε 3} G}_{b} + \frac{ρ}{C_{ε 1}} ϒ_{y}$ (1162)
RKE	$f_{c} G_{k} + G_{b} - ϒ_{M}$ (1163)	${{f_{c} ρ S k + C}_{ε 3} G}_{b}$ (1164)
RKE 2L	$f_{c} G_{k} + G_{b} - ϒ_{M}$ (1165)	${{f_{c} ρ S k + C}_{ε 3} G}_{b}$ (1166)

其中：

$C_{ε 3}$ 为模型系数。
$f_{c}$ 为 Eqn. (1272) 给出的曲率校正因子。

对结果项的贡献如下：


	描述	公式	其中：
$G_{k}$	湍流结果	$μ_{t} S^{2} - \frac{2}{3} ρ k \nabla \cdot \bar{v} {- \frac{2}{3} μ}_{t} {(\nabla \cdot \bar{v})}^{2}$ (1167)	-
$G_{b}$	浮力结果	$β \frac{μ_{t}}{\Pr_{t}} (\nabla \bar{T} \cdot g)$ (1168)	$β$ 为热膨胀系数。对于使用 Boussinesq 近似的恒密度流， $β$ 由用户指定。对于理想气体， $β$ 由 $β = - \frac{1}{ρ} \frac{\partial ρ}{\partial \bar{T}}$ 给出。 $\Pr_{t}$ 为湍流普朗特数。 $\bar{T}$ 为平均温度。 $g$ 为重力矢量。
$G_{n l}$	“非线性”结果	$(T_{RANS, N L}) : \nabla \bar{v}$ (1169)	$T_{RANS, N L}$ 是对本构关系的非线性贡献。
$G'$	额外结果	$D f_{2} (G_{k} + 2 μ \frac{k}{d^{2}}) \exp (- E R e_{d}^{2})$ (1170)	$D$ 和是模型系数。 $E$ $f_{2}$ 为阻尼函数。 $d$ 为与壁面的距离。 ${Re}_{d}$ 由 Eqn. (1116) 给出。
$ϒ_{M}$	可压缩性修正（Sarkar 等人[307])	$\frac{ρ C_{M} k ε}{c^{2}}$ (1171)	$C_{M}$ 为模型系数。 $c$ 为声速。
$ϒ_{y}$	Yap 校正 [312]	$C_{w} \frac{ε^{2}}{k} max [(\frac{l}{l_{ε}} - 1) {(\frac{l}{l_{ε}})}^{2}, 0]$ (1172)	$C_{w}$ 为模型系数。 $l$ 和 $l_{ε}$ 为长度尺度，定义为 $l = \frac{k^{\frac{3}{2}}}{ε}$ 和 $l_{ε} = C_{l} d$ ，其中 $C_{l}$ 为模型系数。

阻尼函数

对于求解粘性层和缓冲层的湍流模型 (SKE LRe)，阻尼函数会模拟壁面附近湍流混合的降低。对于 RKE 和 RKE 2L 模型，阻尼函数强制可实现性。


模型变体	$f_{2}$	$f_{μ}$
SKE	$1$	$1$
SKE 2L	$1$	$1$
SKE LRe	$1 - C \exp (- {Re}_{t}^{2})$ (1173)	$1 - \exp [- (C_{d 0} \sqrt{R e_{d}} + C_{d 1} R e_{d} + {C_{d 2} R e_{d}}^{2})]$ (1174)
RKE	$\frac{k}{k + \sqrt{ν ε}}$ (1175)	$\frac{1}{C_{μ} {4 + \sqrt{6} \cos [\frac{1}{3} \cos^{- 1} (\sqrt{6} \frac{{S^{}}^{3}}{{\sqrt{S^{} : S^{*}}}^{3}})] \frac{k}{ε} \sqrt{S : S + W : W}}}$ (1176)
RKE 2L	$\frac{k}{k + \sqrt{ν ε}}$ (1175)

其中：

$C$ 、 $C_{d 0}$ 、 $C_{d 1}$ 和 $C_{d 2}$ 为模型系数。
${Re}_{t}$ 和 ${Re}_{d}$ 分别由 Eqn. (1117) 和 Eqn. (1116) 给出。
$S$ 和 $W$ 分别由 Eqn. (1112) 和 Eqn. (1114) 给出。
$S^{*} = S - \frac{1}{3} t r (S) I$

模型系数


系数	SKE/SKE 2L	SKE LRe	RKE/RKE 2L
$C$	-	0.3	-
$C_{d 0}$	-	0.091	-
$C_{d 1}$	-	0.0042	-
$C_{d 2}$	-	0.00011	-
$C_{l}$	2.55	2.55	-
$C_{M}$ (Sarkar)	2	2	2
$C_{t}$	1	1	1
$C_{T}$	0.6	0.6	-
$λ_{2} \frac{C_{ϵ 2}}{C_{ϵ 1}}$	0.075	0.075	0.075
$C_{w}$	0.83	0.83	-
$C_{ε 1}$	1.44	1.44	$max (0.43, \frac{η}{5 + η})$ 其中： $η = \frac{S k}{ε}$
$C_{ε 2}$	1.92	1.92	1.9
$C_{μ}$	0.09	0.09	0.09
$D$	-	1	-
$E$	-	0.00375	-
$σ_{ε}$	1.3	1.3	1.2
$σ_{k}$	1	1	1

$C_{ε 3}$ （所有模型变体）

可用文献未明确指定此系数。默认情况下，此系数根据 [298] 计算为：

C_{ε 3} = \tanh \frac{| v_{b} |}{| u_{b} |}

(1177)

其中， $v_{b}$ 和 $u_{b}$ 为重力矢量的平行和垂直速度分量 $g$ .

此公式会在自然对流边界层外将该系数设为零。

另外， $C_{ε 3}$ 可以在任何位置用作常数，或根据浮力结果项 $G_{b}$ 来指定，如下所示：

C_{ε 3} = {\begin{matrix} 1 for G_{b} \geq 0 \\ 0 for G_{b} < 0 \end{matrix}

(1178)