单元解锁

对于承受弯曲或几乎不可压缩材料影响的有限元，某些单元存在被锁定的倾向。这是指当单元中的自由度过度约束时，会导致结构中产生人工伪刚度。此刚度导致计算出的位移小于预期。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，可解决以下类型的锁定问题：

剪切锁定 - 对于一阶单元，剪切应变和剪切变形计算不正确。这通常发生在以折弯为主的仿真中。
曲率厚度锁定 - 发生在正在进行折弯的弯曲单元中，这会引入寄生厚度应变。
体积锁定 - 请参见几乎不可压缩材料

为克服剪切锁定效应，增强假定应变可用于定义非线性弹性体的三场公式。应变场的增强被定义为：

\tilde{ε} = ε - \nabla^{s} (u)

(4756)

其中

\nabla^{s}

为对称梯度运算符。三场变分问题如下：

\int_{Ω_{0}} [\nabla^{s} (δ u) \cdot \partial_{ε} Ψ (\nabla^{s} (δ u) + \tilde{ε}) - W^{e x t} (δ u)] d Ω_{o} = 0

(4757)

\int_{Ω_{0}} τ \cdot \tilde{ε} d Ω_{o} = 0

(4758)

\int_{Ω_{0}} δ \tilde{ε} \cdot [- σ + \partial_{ε} Ψ (\nabla^{s} (u) + \tilde{ε})] d Ω_{o} = 0

(4759)

where $Ψ$ 为应变能势， $W^{e x t}$ 为施加的体载荷或表面载荷所做的功。

由于正交条件，Eqn. (4758) 恒等成立。Eqn. (4759) 中的第一项也已移除，消除了三场公式的应力。两场问题可以表示如下：

\int_{Ω_{0}} [\nabla^{s} (δ u) \cdot \partial_{ε} Ψ (\nabla^{s} (δ u) + \tilde{ε}) - W^{e x t} (δ u)] d Ω_{o} = 0

(4760)

\int_{Ω_{0}} δ \tilde{ε} \cdot \partial_{ε} Ψ (\nabla^{s} (u) + \tilde{ε}) d Ω_{o} = 0

(4761)

Eqn. (4756) 的离散形式可以表示为：

\underset{̲}{ε} = \underset{̲}{B} \underset{̲}{u} + \underset{̲}{G} \underset{̲}{α}

(4762)

其中 $\underset{̲}{ε}$ 为线性化应变场， $\underset{̲}{B} \underset{̲}{u}$ 为兼容应变， $\underset{̲}{G} \underset{̲}{α}$ 增强应变项。

对于非线性几何，增强的假定应变公式使用格林-拉格朗日应变张量进行扩展。根据兼容的格林-拉格朗日应变，定义新的应变场：

E = E^{c} + \tilde{E}

(4763)

其中， $\tilde{E}$ 为增强应变， $E^{c}$ 为兼容格林-拉格朗日应变。

由此新应变场衍生出的三场变分问题为：

\int_{Ω_{0}} [δ E^{c} \cdot \partial_{E} Ψ (E^{c} + \tilde{E}) - W^{e x t} (δ u)] d Ω_{o} = 0

(4764)

\int_{Ω_{0}} τ \cdot \tilde{E} d Ω_{o} = 0

(4765)

\int_{Ω_{0}} δ E^{c} \cdot [- σ + \partial_{E} Ψ (E^{c} + \tilde{E})] d Ω_{o} = 0

(4766)

剪切锁定增强功能

Taylor Wilson 增强功能: 对于 Hex8 单元，使用与典型 Taylor-Wilson 不兼容模态对应的增强形状函数 [891]：

$\underset{̲}{G} = [\begin{matrix} r & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r & s & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & s & t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & r & t \end{matrix}]$
(4767)
其中，用 Voigt 符号表示的应变为：

$\underset{̲}{ε} = {[\begin{matrix} ε_{11} \end{matrix}, \begin{matrix} ε_{22} \end{matrix}, \begin{matrix} ε_{33} \end{matrix}, \begin{matrix} ε_{12} \end{matrix}, \begin{matrix} ε_{23} \end{matrix}, \begin{matrix} ε_{13} \end{matrix}]}^{T}$
(4768)
然后，使用在单元中心计算的几何映射将形状函数从参数空间变换为物理空间。
Vu-Quoc 增强功能: 对于 Quad4 单元，Simcenter STAR-CCM+ 使用 Vu-Quoc 增强型应变矩阵，将增强假定应变参数的数量减少到七个 [892]：

$\underset{̲}{G} = [\begin{matrix} r & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t & r t & s t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & r & s \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$
(4769); 然后，使用在单元中心计算的几何映射将形状函数从参数空间变换为物理空间。
Ko-Lee 增强功能: 对于 Tria3 和楔形体单元，不能直接应用增强假定应变方法。对于 6 节点三角形连续壳单元，应用 Ko-Lee 方法 [893]。与 Taylor-Wilson 增强功能类似，此方法从不兼容位移场开始，将其分为平面内和横向部分：

$\begin{matrix} u_{i p} = \frac{1}{2} N_{2} (r, s) t (α V_{1} + β V_{2}) \\ u_{t} = \frac{1}{2} N_{1} (t) γ V_{3} \end{matrix}$
(4770); 其中， $N_{1}$ 和 $N_{2}$ 分别为 1D 二次和 2D 气泡拉格朗日形状函数， $V_{1}$ , $V_{2}$ 和 $V_{3}$ 为平移方向矢量， $α$ , $β$ ， $γ$ 为增强参数。; 相应的增强假定应变矩阵为：

$\underset{̲}{G} = [\begin{matrix} N_{2, r} t V_{1} \cdot G_{1} & N_{2, r} t V_{2} \cdot G_{1} & 0 \\ N_{2, s} t V_{1} \cdot G_{2} & N_{2, s} t V_{2} \cdot G_{2} & 0 \\ 0 & 0 & t \\ \frac{1}{2} N_{2, s} t V_{1} \cdot G_{1} + \frac{1}{2} N_{2, r} t V_{1} \cdot G_{2} & \frac{1}{2} N_{2, s} t V_{2} \cdot G_{1} + \frac{1}{2} N_{2, r} t V_{2} \cdot G_{2} & 0 \\ \frac{1}{4} V_{1} \cdot G_{2} & \frac{1}{4} V_{2} \cdot G_{2} & 0 \\ \frac{1}{4} V_{1} \cdot G_{1} & \frac{1}{4} V_{2} \cdot G_{1} & 0 \end{matrix}]$
(4771); 其中， $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 为参考配置中的协变基矢量。与其他方法类似，形状函数随后映射到物理空间。

假定自然应变增强

要化解连续壳单元中的横向剪切和曲率厚度锁定的问题，需应用假定自然应变。该方法将应变场的应变分量替换为独立假定应变分量，这些分量并非直接派生自位移场。然后，在单元内的特定离散点对这些应变场进行采样。

用于横向剪切锁定的假定自然应变

Quad4 连续壳体: 根据 Eqn. (4762)，在参数化坐标系中提供了四个配置点：

$\begin{matrix} A = (- 1, 0, 0) \\ B = (0, - 1, 0) \\ C = (1, 0, 0) \\ D = (0, 1, 0) \end{matrix}$
(4772); 根据此定义，兼容横向剪切应变的线性插值为：

$\begin{matrix} {\begin{matrix} (E^{A N S}) \end{matrix}}_{13} = \frac{1}{2} ((1 - s) {(E^{c})}_{13} B + (1 + s) {(E^{c})}_{13} D) \\ {\begin{matrix} (E^{A N S}) \end{matrix}}_{23} = \frac{1}{2} ((1 - r) {(E^{c})}_{23} A + (1 + r) {(E^{c})}_{23} C) \end{matrix}$
(4773)
Tria3 连续壳体: 遵循 Ko-Lee 壳单元增强方法，采用剪切应变插值，并在重心坐标中定义配置点：

$\begin{matrix} A = (\frac{1}{6}, \frac{2}{3}, 0) \\ B = (\frac{2}{3}, \frac{1}{6}, 0) \\ C = (\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, 0) \\ D = (\frac{1}{3} + d, \frac{1}{3} - 2 d, 0) \\ E = (\frac{1}{3} - 2 d, \frac{1}{3} + d, 0) \\ F = (\frac{1}{3} + d, \frac{1}{3} + d, 0) \end{matrix}$
(4774); 其中， $d = \frac{1}{100000}$ ，并用于控制平面内扭转刚度。根据此定义，可以使用以下插值：

$\begin{matrix} {\begin{matrix} (E^{A N S}) \end{matrix}}_{13} = \frac{2}{3} ({(E^{c})}_{23} A - \frac{1}{2} {(E^{c})}_{13} A) + \frac{1}{3} ({(E^{c})}_{13} C + {(E^{c})}_{23} C) + \frac{1}{3} \tilde{c} (1 - 3 r) \\ {\begin{matrix} (E^{A N S}) \end{matrix}}_{23} = \frac{2}{3} ({(E^{c})}_{13} B - \frac{1}{2} {(E^{c})}_{23} B) + \frac{1}{3} ({(E^{c})}_{13} C + {(E^{c})}_{23} C) + \frac{1}{3} \tilde{c} (3 s - 1) \end{matrix}$
(4775); 其中 $\tilde{c} = {(E^{c})}_{13} F - {(E^{c})}_{13} D - {(E^{c})}_{23} F + {(E^{c})}_{23} E$

用于曲率厚度锁定的假定自然应变

Quad4 连续壳体: 与横向剪切锁定类似，需为 Quad4 单元的厚度应变插值确定四个配置点：

$\begin{matrix} i = (- 1, - 1, 0) \\ i i = (1, - 1, 0) \\ i i i = (1, 1, 0) \\ i v = (- 1, 1, 0) \end{matrix}$
(4776); 通过将四 Quad4 单元膨胀到六边形单元并应用假定的自然应变插值，四 Quad4 四边形单元不再是各向同性的，因为您已为连续壳单元选择了厚度。 $t$ 根据配置点，横向法向应变的双线性插值为：

${(E^{A N S})}_{33} = \sum_{p = 1}^{4} N (r, s) {(E^{c})}_{33} p_{i}$
(4777); 其中， $N (r, s)$ 为参数化坐标系中定义的双线性拉格朗日形状函数， $p_{i} = {i, i i, i i i, i v}$ 为 Eqn. (4776) 中定义的配置点。
Tria3 连续壳体: 对于 Tria3 单元，定义了以下三个配置点：; $\begin{matrix} i = (0, 0, 0) \\ i i = (1, 0, 0) \\ i i i = (0, 1, 0) \end{matrix}$
(4778); 根据配置点，横向法向应变的双线性插值为：

${(E^{A N S})}_{33} = (1 - r - s) {(E^{c})}_{33} i + r {(E^{c})}_{33} (i i) + s {(E^{c})}_{33} (i i i)$
(4779); 其中，线性形状函数在三角形单元上定义。