与刚性表面接触

刚性接触约束在可变形固体的表面上定义边界条件。此边界条件是指固体和刚性表面之间的接触，不属于应力分析的一部分。

当前，Simcenter STAR-CCM+ 可用于对与刚性平面的无摩擦接触建模。

接触压力

假设交界面 $Γ_{C}$ 位于可变形固体 $s$ 和刚性平面 $m$ 之间。

$Γ_{C}^{s}$ 上的拉力矢量（即属于可变形固体的交界面的一侧）可以分解为其切向分量和法向分量：

T^{s} = T_{t}^{s} - P_{n}^{s} n

(4583)

其中， $T_{t}^{s}$ 为切向 Piola 拉力矢量，而 $P_{n}^{s}$ 为相对于初始未变形的接触表面 $Γ_{C}^{s}$ [885] 的标称接触压力。接触压力定义为压缩时为正。 $P_{n}^{s}$

对于无摩擦接触，对拉力矢量的仅有贡献来自法向分量，即接触压力。初始表面上的接触压力与当前变形的表面有关，具体关系为：

P_{n}^{s} = j^{s} p_{n}^{s}

(4584)

其中， $p_{n}^{s}$ 为相对于当前表面 $γ_{C}^{s}$ 的接触压力，而 $j$ 是与初始和当前表面有关的雅可比：

j^{s} = \frac{d γ_{C}^{s}}{d Γ_{C}^{s}}

(4585)

法向接触条件可以使用公式表示为 Karush-Kuhn-Tucker 条件 [885]。对于接触表面上的每个点 $Γ_{C}^{s}$ ：

{\begin{cases} P_{n}^{s} \geq 0 \\ g_{n} \geq 0 \\ P_{n}^{s} g_{n} = 0 \end{cases}

(4587)

其中接触间隙 (

g_{n}

) 定义固体表面上的点与它在刚性障碍物表面上的投影之间的距离。正负接触间隙值分别对应于这些接触点的分离和穿透。

这些面之间的确切接触间隙条件可以表示如下：

对于无摩擦接触，仅接触压力会影响可变形固体 (Eqn. (4566)) 的虚功方程，使其变为：

\begin{matrix} δ Π & = & \int_{V_{0}} δ u \cdot ρ_{0} \ddot{u} d V - \int_{V_{0}} δ u \cdot b d V + \int_{V_{0}} δ E : S d V \\ - & \int_{Γ_{τ}} δ u \cdot \bar{τ} d Γ - \int_{Γ_{C}^{s}} P_{n}^{s} δ g_{n} d Γ^{s} = 0 \end{matrix}

(4588)

其中，左侧最后一项是接触贡献。接触间隙 $δ g_{n}$ 的变化由以下公式给出：

δ g_{n} = δ u^{s} \cdot n

(4589)

其中， $n$ 指向刚性表面外侧的表面法向。

要计算接触对系统虚拟功的贡献，将结合罚法对接触间隙进行离散化：

δ Π^{c}

δ Π^{c} = \int_{Γ_{C}^{s}} P_{n}^{s} δ g_{n} d Γ^{s}

(4590)

求积点到面方案 (QPTS): 求积点到面方案 (QPTS) 使用高斯积分计算有限元积分点的精确接触间隙，并将罚法直接应用于积分点的接触间隙值：

$δ Π^{c} \approx - \sum_{q} δ g_{n} (ξ_{q}^{s}) ϵ {〈 g_{n} (ξ_{q}^{s}) 〉}_{_} w_{q}$
(4591); 其中和是数值积分规则积分点的局部坐标和权值。 $ξ_{q}^{s}$ $w_{q}$
砂浆: 相反，砂浆离散化引入了接触压力的有限元离散：

$P_{n}^{s} \approx \sum_{i} N_{i}^{p} P_{i}^{s}$
(4592); 其中是有限元形状函数，而是节点接触压力。 $N_{i}^{p}$ $P_{i}^{s}$; 要提供离散接触间隙，接触间隙将投影到与接触压力相同的离散化上：

${\hat{g}}_{i} = \frac{1}{A_{i}} \int_{Γ^{s}} N_{i}^{p} g_{n} d Γ$
(4593); 其中为节点支流面积： $A_{i}$

$A_{i} = \int_{Γ s} N_{i}^{p} d Γ$
(4594); 罚法随后应用于离散接触间隙，以将节点接触压力表示为离散接触间隙的函数 ()，以生成接触虚功项： $P_{i}^{s} = - ϵ {〈 {\hat{g}}_{i} 〉}_{_}$

$δ Π^{c} \approx \sum_{i} P_{i}^{s} A_{i} δ {\hat{g}}_{i} = - \sum_{i} ϵ {〈 {\hat{g}}_{i} 〉}_{_} A_{i} {\hat{g}}_{i}$
(4595)