求解方法

位移场求解

对于无限小应变（线性几何），内力是节点位移的线性函数（请参见 Eqn. (4685)）。对于大变形，内力在位移中呈非线性，Simcenter STAR-CCM+ 使用牛顿迭代求解控制方程：

其中，$\begin{array}{c}{r}_M^i\end{array}$ 为节点 $M$ 处的残余力。

静态

固体力学中使用的简称与流体力学中使用的简称不同。在流体力学瞬态模拟中，包括惯性项，求解依赖于初始条件和时间。在固体力学中，负载可以与时间相关，但求解仍被视为静态，因为与通过部件传播的弯曲或声波的时间尺度相比，加载或卸载部件的典型时间尺度非常长。然而，在真正的动态问题中，因低频弯曲波或高频声波而产生的瞬态十分重要，必须包括惯性项。

静态求解寻求位移场 $u_M$ ，使得内力与外力平衡。在静态问题中，惯性项被忽略，且 Eqn. (4676) 为：

$$f_M^{\mathrm{int}}=f_M^{ext}\forall M\in \mathbb{N}$$

(4714)

其中， $\mathbb{N}$ 为元素的节点集。

然后，残余力为：

$$\begin{array}{c}{r}_M^i=f_M^{ext}-f_M^{int}\end{array}$$

(4715)

Simcenter STAR-CCM+ 对位移增量 $\delta u_N^i$ 求解 Eqn. (4713)，并将位移更新为：

$$u_N^{i+1}=u_N^i+\delta u_N^i$$

(4716)

迭代从给定的初始条件 $u_N^0$ 开始。对于线性问题，求解与初始条件无关。此外，直接求解器在一次迭代中计算解。

动态

动态求解寻求满足方程的位移场 $u_M$：

$$M_{MN}{\ddot{u}}_N+C_{MN}{\dot{u}}_N=f_M^{ext}-f_M^{\mathrm{int}},\forall M\in \mathbb{N}$$

(4717)

其中，$M_{MN}$ 和 $C_{MN}$ 为质量和阻尼矩阵。然后，残余力为：

$$r_M=-M_{MN}{\ddot{u}}_N-C_{MN}{\dot{u}}_N-f_M^{\mathrm{int}}+f_M^{ext},\forall M\in \mathbb{N}$$

(4718)

Simcenter STAR-CCM+ 提供两种不同的加速度和速度近似法：

一阶向后欧拉方法

一阶向后欧拉方法将时间步 n 处的加速度和速度粗略估算为：

$$\begin{array}{l}{\ddot{u}}_N^n=\frac{{\dot{u}}_N^n-{\dot{u}}_N^{n-1}}{\Delta t}\\ {\dot{u}}_N^n=\frac{u_N^n-u_N^{n-1}}{\Delta t}\end{array}$$

(4719)

建议不要将此一阶近似法用于高分辨率结构动力学，因为它可能引入大量数值阻尼。但数值阻尼可用于移除不需要的初始瞬态或达到准静态求解目的。

二阶纽马克方法

二阶纽马克方法将时间步 n 处的速度和位置粗略估算为：

$$\begin{array}{l}{\dot{u}}_N^n={\dot{u}}_N^{n-1}+\left(\gamma {\ddot{u}}_N^n+\left(1-\gamma \right){\ddot{u}}_N^{n-1}\right)\Delta t\\ u_N^n=u_N^{n-1}+{\dot{u}}_N^{n-1}\Delta t+\left(\beta {\ddot{u}}_N^n+\left(\frac{1}{2}-\beta \right){\ddot{u}}_N^{n-1}\right)\Delta t^2\end{array}$$

(4720)

在初始时间步中，加速度 ${\ddot{u}}_N^0$ 通过求解 $t=0$ 的 Eqn. (4717) 获得：

$${\mathbf{M}}_{MN}{\ddot{\mathbf{u}}}_N^0={\mathbf{f}}_M^{ext}-{\mathbf{f}}_M^{\mathrm{int}}$$

(4721)

其中，忽略阻尼项 ${\mathbf{C}}_{MN}{\dot{\mathbf{u}}}_N^0$ 。

当 $\gamma =\frac{1}{2}$ 且 $\beta =\frac{1}{4}$ 时，该方法为第二阶精度。当满足以下条件时，该方法绝对可靠：

$$\gamma \ge \frac{1}{2},\beta =\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{2}+\gamma \right)}^2$$

(4722)

$\gamma >\frac{1}{2}$ 的值引入数值阻尼，但会使时间积分的精度降低到一阶。

纽马克法的有效刚度矩阵为：

$${\tilde{K}}_{MN}=-\frac{\partial r_M}{\partial u_N}=+K_{MN}+\frac{M_{MN}}{\beta \Delta t^2}+\frac{\gamma C_{MN}}{\beta \Delta t}$$

(4723)

广义- $\alpha$ 法

广义- $\alpha$ 法引入了 ${\alpha }_f$ 和 ${\alpha }_m$ 项，表示 $n-1$ 与 $n$ 之间的时间步偏移。

Simcenter STAR-CCM+ 中的广义 $\alpha$ 时间积分法的实施基于 Arnold 和 Brüls [887] 的成果。此积分法通过重复关系引入与系统的物理加速度 ${\ddot{u}}_N$ 相关的伪加速度变量 $a_N$ ：

$$(1-{\alpha }_m)a_N^n+{\alpha }_m{a}_N^{n-1}=(1-{\alpha }_f){\ddot{u}}_N^n+{\alpha }_f{\ddot{u}}_N^{n-1}$$

(4724)

其中： $a_N^0={\ddot{u}}_N^0$

然后，用于配置系统 $u_N$ 和速度 ${\dot{u}}_N$ 的广义 $\alpha$ 表达式通过使用 Newmark 差分公式中的 $a_N$ 获取：

$$u_N^n=u_N^{n-1}+\mathrm{\Delta }t{\dot{u}}_N^{n-1}+{\mathrm{\Delta }t}^2(0.5-\beta )a_N^{n-1}+{\mathrm{\Delta }t}^2\beta a_N^n$$

(4725)

$${\dot{u}}_N^n={\dot{u}}_N^{n-1}+\mathrm{\Delta }t(1-\gamma )a_N^{n-1}+\gamma \mathrm{\Delta }t{a}_N^n$$

(4726)

其中， $\mathrm{\Delta }t$ 为时间步。

根据当前时间步中 $u_N$ 、 ${\dot{u}}_N$ 和 ${\ddot{u}}_N$ 的值，以隐式方式评估问题的残余特征。通过将积分器写成位置变量的修正形式，引入了以下参数：

$${\beta }^{\prime }=\frac{1-{\alpha }_m}{{\mathrm{\Delta }t}^2\beta (1-{\alpha }_f)}$$

(4727)

$${\gamma }^{\prime }=\frac{\gamma }{\mathrm{\Delta }t\beta }$$

(4728)

和系统的相切矩阵 ${\tilde{K}}_{MN}$ ，采用表达式：

$${\tilde{K}}_{MN}={\beta }^{\prime }{M}_{MN}+{\gamma }^{\prime }{C}_{MN}+K_{MN}$$

(4729)

其中 $M_{MN}$ 是系统的质量矩阵， $C_{MN}$ 是相切阻尼矩阵， $K_{MN}$ 是相切刚度矩阵。

只要满足以下条件，该方案无条件稳定且为二阶精度：

$$\gamma =\frac{1}{2}+{\alpha }_f-{\alpha }_m$$

(4730)

$$\beta =\frac{1}{4}{(1+{\alpha }_f-{\alpha }_m)}^2$$

(4731)

$${\alpha }_m\le {\alpha }_f\le \frac{1}{2}$$

(4732)

广义 $\alpha$ 法的数值耗散可以通过无穷大 ${\rho }_{\infty }$ 的频谱半径来表征。对于 ${\rho }_{\infty }=1$ ，没有数值耗散。当 ${\rho }_{\infty }=0$ 时，数值耗散可能达到最大值（称为渐近猝灭）。数值耗散可由幅值衰减因子描述，其中 $\lambda$ ，根据频谱半径 ${\rho }_{\infty }\in [0,1]$ 定义：

$$\lambda =\frac{1-{\rho }_{\infty }}{1+{\rho }_{\infty }}$$

(4733)

以下方法与广义 $\alpha$ 法系列相关联：

最佳方法

对于最佳 (Chung-Hulbert) 时间积分法， ${\alpha }_m\ne 0$ 和 ${\alpha }_f\ne 0$ 均为非零，并且可以使用 [888] 根据 ${\rho }_{\infty }$ 定义：

$${\alpha }_m=\frac{2{\rho }_{\infty }-1}{{\rho }_{\infty }+1}$$

(4734)

$${\alpha }_f=\frac{{\rho }_{\infty }}{{\rho }_{\infty }+1}$$

(4735)

HHT- $\alpha$ 法

对于 HHT- $\alpha$ (Hilber-Hughes-Taylor) 时间积分法 ${\alpha }_m=0$ 。 ${\alpha }_f$ 可以使用 [888] 根据 ${\rho }_{\infty }$ 定义：

$${\alpha }_f=\frac{1-{\rho }_{\infty }}{1+{\rho }_{\infty }}$$

(4736)

WBZ- $\alpha$ 法

对于 WBZ- $\alpha$ (Wood-Bossak-Zienkiewicz) 时间积分法 ${\alpha }_f=0$ 。 ${\alpha }_m$ 可以使用 [888] 根据 ${\rho }_{\infty }$ 定义：

$${\alpha }_m=\frac{{\rho }_{\infty }-1}{{\rho }_{\infty }+1}$$

(4737)

两场求解

控制方程包含两个独立变量，即位移场 $u$ 和压力 $p$（请参见几乎不可压缩的材料）。

静态问题的线性方程组为：

其中：

$\begin{array}{c}{K}_{uu}\end{array}$ 是基于位移的刚度矩阵，$\begin{array}{c}{K}_{up}\end{array}$ 是耦合位移和压力场的刚度矩阵，$\begin{array}{c}{K}_{pu}={K_{up}}^T\end{array}$, $K_{pp}$ 是基于压力的刚度矩阵，$\begin{array}{c}{\begin{array}{c}f\end{array}}_{ext}\end{array}$ 是外部负载矢量，$\begin{array}{c}{\begin{array}{c}f\end{array}}_{\mathrm{int},u}\end{array}$ 是基于位移的内部负载矢量，$\begin{array}{c}{\begin{array}{c}f\end{array}}_{\mathrm{int},p}\end{array}$ 是基于压力的内部负载矢量，$B$ 是基于位移的应变运算符，${ℂ}_{ab}$ 是材料刚度相切耦合场 $a$ 和 $b$，$N_u$ 和 $N_p$ 分别是插补位移和压力场的形状函数的矢量。压力场根据在单元之间不连续的形状函数粗略计算而得。未知压力值通过静态冷凝在单元级别消除。