惯性载荷

经历刚体运动的可变形体是承受惯性载荷的。要对这些现象进行正确建模，将因刚体运动而产生的刚性位移与因固体变形而产生的非刚性位移分开来处理比较方便。

在固体力学中，体的总运动可以在移动参考坐标系中描述。

承受刚体运动的可变形体的运动学

考虑体不受规定刚体运动的影响，已变形配置的位置矢量求得如下：

\hat{x} = X + \hat{u}

(4567)

其中是未变形的位置矢量，是在移动参考坐标系中定义的位移。

X

\hat{u}

基准坐标系中的当前位置矢量可以表示为：

x_{n} = R \hat{x} + T = R (X + \hat{u}) + T

(4568)

其中是旋转矩阵，是平移矢量。 $R$ $T$

要在存在刚体运动的情况下确定材料速度和加速度，当前位置矢量以时间相关形式表示：

x_{n} (X, t) = R (t) (X + \hat{u} (X, t)) + T (t)

(4569)

据此，相对于时间的总导数提供点处的材料速度： $x_{n}$

v_{d} (X, t) = {\dot{x}}_{n} = \frac{d x_{n}}{d t} = \dot{R} (t) (X + \hat{u} (X, t)) + R (t) \hat{v} (X, t) + \dot{T} (t)

(4570)

其中是与变形关联的速度：

\hat{v}

\hat{u}

\hat{v} = \dot{\hat{u}}

(4571)

旋转矩阵的时间导数通常表示为：

\dot{R} = Ω R

(4572)

其中是角速度张量：

Ω

Ω = [\begin{matrix} 0 & {\begin{matrix} - ω \end{matrix}}_{z} & ω_{y} \\ ω_{z} & 0 & {- ω}_{x} \\ {- ω}_{y} & ω_{x} & 0 \end{matrix}]

(4573)

角速度张量还可定义为角速度矢量 () 与当前位置矢量之间的叉积：

ω

Ω x_{n} = ω \times x_{n}

(4574)

将 Eqn. (4572) 插入 Eqn. (4570) 中并去除多个变量的显式时间相关性，可以得出速度的替代表达式：

v_{d} = \dot{x_{n}} = \frac{d x_{n}}{d t} = Ω R (X + \hat{u}) + R \hat{v} + \dot{T}

(4575)

位置矢量的加速度随后做为速度表达式的总时间导数：

a_{d} = \ddot{x} = \frac{d v_{d}}{d t} = [\dot{Ω} R + Ω Ω R] (X + \hat{u}) + 2 Ω R \hat{v} + R \hat{a} + \ddot{T}

(4576)

要确定对加速度的不同贡献，可将 Eqn. (4576) 中的项重组如下：

\begin{array}{l} a_{d} = & \dot{Ω} R (X + \hat{u}) & E u l e r A c c e l e r a t i o n \\ + Ω Ω R (X + \hat{u}) & C e n t r i f u g a l A c c e l e r a t i o n \\ + 2 Ω R \hat{v} & C o r i o l i s A c c e l e r a t i o n \\ + R \hat{a} & D e f o r m a t i o n A c c e l e r a t i o n (\hat{a} = \frac{d \hat{v}}{d t}) \\ + \ddot{T} & T r a n s l a t i o n a l R i g i d B o d y A c c e l e r a t i o n \end{array}

(4577)

在 Eqn. (4577) 之后，使用单位未变形体积的材料密度 () 来表示关于初始配置的虚功。

ρ_{0}

Eqn. (4565) 的第一项可以改写如下，用代替：

a

\ddot{u}

\begin{array}{l} {δ Π}^{m} (δ \hat{u}, \hat{u}, \hat{v}, \hat{a}) = & \int_{V_{0}}^{} ρ_{o} δ \hat{u} \cdot R^{⊤} \dot{Ω} R (X + \hat{u}) d V & (= {δ Π}^{m, a} (δ \hat{u}, \hat{u})) \\ + \int_{V_{0}}^{} ρ_{o} δ \hat{u} \cdot R^{⊤} Ω Ω R (X + \hat{u}) d V & (= {δ Π}^{m, c f} (δ \hat{u}, \hat{u})) \\ + {2 \int}_{V_{0}}^{} ρ_{o} δ \hat{u} \cdot R^{⊤} Ω R \hat{v} d V & (= {δ Π}^{m, c o} (δ \hat{u}, \hat{v})) \\ + \int_{V_{0}}^{} ρ_{o} δ \hat{u} \cdot R^{T} R \hat{a} d V & (= {δ Π}^{m, \hat{a}} (δ \hat{u}, \hat{a})) \\ + \int_{V_{0}}^{} ρ_{o} δ \hat{u} \cdot R^{⊤} \ddot{T} d V & (= {δ Π}^{m, t} (δ \hat{u})) \end{array}

(4578)

第四项是因局部加速度而产生的惯性载荷。此项带来质量矩阵在有限元离散化中的贡献。第五项是充当外部载荷的平移刚体运动，与未知数及其导数和无关。 $\hat{u}$ $\hat{v}$ $\hat{a}$

离心力（第二项）和欧拉加速度（第一项）是与线性相关的载荷。 $\hat{u}$ 同样，Coriolis 载荷（第三项）与速度 () 线性相关。 $\hat{v}$ 因此，在有限元问题中，Coriolis 载荷会导致线性阻尼贡献，但不会导致能量耗散（与粘滞阻尼不同）。

惯性功项的线性化简单明了。为完整起见，离心力项和欧拉加速度项如下：

Δ ({δ Π}^{m, a} (δ \hat{u}, \hat{u})) = \int_{V_{0}}^{} ρ_{o} δ \hat{u} \cdot R^{⊤} \dot{Ω} R Δ \hat{u} d V = \int_{V_{0}}^{} ρ_{o} {(R δ \hat{u})}^{⊤} \dot{Ω} (R Δ \hat{u}) d V

(4579)

Δ ({δ Π}^{m, c f} (δ \hat{u}, \hat{u})) = \int_{V_{0}}^{} ρ_{o} δ \hat{u} \cdot R^{⊤} Ω Ω R Δ \hat{u} d V = \int_{V_{0}}^{} ρ_{o} (Ω^{⊤} R δ \hat{u}) \cdot (Ω R Δ \hat{u}) d V = {- \int}_{V_{0}}^{} ρ_{o} (Ω R δ \hat{u}) \cdot (Ω R Δ \hat{u}) d V

(4580)

离心力的线性化会在系统中引入表观刚度（离心刚度或旋转软化效应）。此刚度对于转子应用场景非常重要，还会影响旋转中结构的模态分析。根据 Eqn. (4580)，此项的重要性随转速的递增呈二次性递增。

为了阐明线性化的反对称性，已对被积函数项重新布置。Eqn. (4579) 显示离心刚度项的对称双线性形式，而由于角加速度张量 () 的斜对称性，欧拉加速度项的线性化呈斜对称双线性形式。 $\dot{Ω}$ 欧拉加速度项仅在瞬态模拟中与时间相关的转速相关。

对 Coriolis 项 () 进行类似的重新布置导致：

{δ Π}^{m, c o} (δ \hat{u}, \hat{v})

{δ Π}^{m, c o} (δ \hat{u}, \hat{v}) = 2 \int_{V_{0}} ρ_{0} δ \hat{u} \cdot R^{T} Ω R \hat{v} d V = 2 \int_{V_{0}} ρ_{0} {(R δ \hat{u})}^{T} Ω (R \hat{v}) d V

(4581)

考虑到角速度的斜对称性，Eqn. (4578) 将显示 Coriolis 项呈斜对称双线性形式。由于其在速度 () 中的线性作业，此项的线性化如下：

\hat{v}

Δ ({δ Π}^{m, c o} (δ \hat{u}, \hat{v})) = 2 \int_{V_{0}} ρ_{0} {(R δ \hat{u})}^{T} Ω (R Δ \hat{v}) d V

(4582)