流体结构相互作用交界面数据交换

要跟踪跨 FSI 交界面交换位移和映射 FSI 拉力的收敛，可对交界面位移和交界面映射 FSI 拉力进行监视。这些场函数在 FSI 交界面的固体侧计算。

对于这些函数，既要计算矢量场，也要计算加权欧几里德范数。

首先，考虑 $N$ 个 FSI 交界面、第 k 个 FSI 交界面 $n_{k}^{v}$ 的固体侧中的单元节点数，以及第 k 个 FSI 交界面 $n_{k}^{f}$ 的固体侧上的单元面数，其中 $k = 1, 2, ..., N$ 。跨 FSI 交界面的单元节点和单元面总数分别是 $N^{v} = \sum_{k = 1}^{N} n_{k}^{v}$ 和 $N^{f} = \sum_{k = 1}^{N} n_{k}^{f}$ 。

然后计算交界面位移残差矢量场

{r_{i}^{u (ν)}}_{i = 1}^{N^{v}}

和交界面映射 FSI 拉力残差矢量场

{r_{j}^{t (μ)}}_{j = 1}^{N^{f}}

，其中交界面位移残差矢量

r_{i}^{u (ν)}

和交界面映射 FSI 拉力残差矢量

r_{i}^{u (ν)}

定义为：

\begin{matrix} r_{i}^{u (ν)} = u_{i}^{(ν)} - u_{i}^{(ν - 1)}, & \forall_{i} \end{matrix}

(4661)

\begin{matrix} r_{j}^{t (μ)} = t_{j}^{(μ)} - t_{j}^{(μ - 1)}, & \forall_{j} \end{matrix}

(4662)

其中， $u_{i}$ 表示第 i个单元节点处的位移， $t_{j}$ 表示第 j个单元面处的映射 FSI 拉力， $ν$ 为跨 FSI 交界面的第 n次位移数据交换， $μ$ 为跨交界面的第 n次映射 FSI 拉力交换。作为这些残差的初始条件， $\begin{matrix} u_{i}^{(0)} = 0 & \forall_{i} \end{matrix}$ 且 $\begin{matrix} t_{j}^{(0)} = 0 & \forall_{j} \end{matrix}$ 。

对于每次数据交换，都将计算交界面位移残差和交界面映射 FSI 拉力残差的加权欧几里德范数，以跟踪交换数据的总体收敛行为。

对于交界面位移残差，

r^{u (ν)} \in ℝ_{0}^{+}

定义为：

r^{u (ν)} = {[\sum_{i = 1}^{N^{v}} \sum_{d = 1}^{3} {(r_{i d}^{u (ν)})}^{2}]}^{\frac{1}{2}}

(4663)

这相当于将所有交界面位移残差矢量连接成一个矢量：

r^{u (ν)} = (r_{11}^{u (ν)}, r_{21}^{u (ν)}, r_{31}^{u (ν)}, r_{12}^{u (ν)}, ..., r_{1 N^{v}}^{u (ν)}, r_{2 N^{v}}^{u (ν)}, r_{3 N^{v}}^{u (ν)})

(4664)

然后取加权欧几里德范数：

r^{u (ν)} = {‖ r^{u (ν)} ‖}_{2} = {(\frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} {| r_{j}^{u (v)} |}^{2})}^{\frac{1}{2}}

(4665)

同样，对于交界面映射 FSI 残差，

r^{t (μ)} \in ℝ_{0}^{+}

定义为：

r^{t (μ)} = {[\sum_{j = 1}^{N^{f}} \sum_{d = 1}^{3} {(r_{j d}^{t (μ)})}^{2}]}^{\frac{1}{2}}

(4666)

这相当于将所有交界面映射 FSI 拉力残差矢量连接成一个矢量：

r^{t (μ)} = (r_{11}^{t (μ)}, r_{21}^{t (μ)}, r_{31}^{t (μ)}, r_{12}^{t (μ)}, ..., r_{1 N^{f}}^{t (μ)}, r_{2 N^{f}}^{t (μ)}, r_{3 N^{f}}^{t (μ)})

(4667)

然后取加权欧几里德范数：

r^{t (μ)} = {‖ r^{t (μ)} ‖}_{2} = {(\frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} {| r_{j}^{t (μ)} |}^{2})}^{\frac{1}{2}}

(4668)