接触实施方法

惩罚方法和 Uzawa 方法均在段和刚体之间强制执行单边接触条件。

惩罚方法

Simcenter STAR-CCM+ 使用惩罚方法对接触压力和间隙函数之间的关系建模。使用惩罚方法对硬接触建模时会对进入刚性表面的任何固体的非物理穿透进行惩罚。

使用此方法时， $P_{n}^{s}, g_{n}$ 关系定义如下：

P_{n}^{s} = - ϵ {〈 g_{n} 〉}_{-}

(4596)

其中 ${〈 g_{n} 〉}_{-}$ 定义为：

{〈 g_{n} 〉}_{-} = {\begin{matrix} 0 & \forall g_{n} \geq 0 \\ {\begin{matrix} g \end{matrix}}_{n} & \forall g_{n} < 0 \end{matrix}

(4597)

和

ϵ

是对非物质穿透进行惩罚的参数。如下所示，惩罚参数的关系可以用惩罚参数的有限值来说明：

该图显示惩罚关系（蓝色细线）如何逼近 Eqn. (4587) 的真实接触条件（蓝色粗线）。可以看到，此方法需要一定程度的相互穿透 ( $g_{n} < 0$ ) 才能在活动接触中生成接触压力。在 Eqn. (4596) 中，Eqn. (4588) 中的接触贡献可以写为：

\int_{Γ_{C}^{s}} P_{n}^{s} δ g_{n} d Γ^{s} = - \int_{Γ_{C}^{s}} δ g_{n} ϵ {〈 g_{n} 〉}_{-} d Γ^{s}

(4598)

惩罚方法仅描述适用于 $ϵ \to \infty$ 的完美刚性接触。任何有限值都将引入建模错误。但是，过大的值可能会削弱数值格式的收敛性。因此，在选择惩罚参数值时，必须权衡建模精度和数值稳定性。 $ϵ$ 的优化值与固体材料的刚度和网格大小相关：

ϵ \propto \frac{E}{h}

(4599)

其中， $E$ 表示材料刚度，而 $h$ 为数值精度，即有限元的大小。

Uzawa 算法

为了减小罚参数对求解精度的影响，Uzawa 算法将罚法与拉格朗日乘数法结合起来。Uzawa 算法是一种增广拉格朗日法，它引入了拉格朗日乘数 (

λ

) 来强制执行约束。Eqn. (4596) 得到扩展：

P_{n}^{s} = - {〈 λ + ϵ g_{n} 〉}_{-}

(4600)

对接触压力引入拉格朗日变量，可能导致有限元方案中的自由度数增加。但是，对于 Uzawa 算法，通过在求解有限元系统时将拉格朗日乘数视为固定变量，可以避免这种情况。要为每次牛顿迭代提供最佳拉格朗日乘数，则在单独的固定点方案中更新这些乘数：

λ^{*} = {〈 λ^{(k)} + ϵ g_{n}^{(k)} 〉}_{-}

(4601)

其中， $λ^{*}$ 为当前接触压力 ( $λ^{*} = λ^{(k + 1)}$ )。固定点方案一直更新到满足不可穿透条件 ( $g_{n} \geq 0$ ) 为止。

此关系可以用下面的图示来说明，并展示了如何采用拉格朗日乘数来趋近零接触间隙：

该图演示了 Uzawa 算法如何根据 Eqn. (4601) 更新拉格朗日乘数，从而以迭代方式降低接触穿透率。最初，拉格朗日乘数为零，这导致与惩罚方法相同的关系。这将导致一些非零穿透率 ( $g_{n}^{(1)}$ )。在首次 Uzawa 更新中，拉格朗日乘数设为等于 $ϵ g_{n}^{(1)}$ 。因此，在后续牛顿迭代中移动关系以减小接触间隙。该更新过程将一直持续到接触穿透力为零且拉格朗日乘数等于接触压力为止。

由于 Uzawa 算法的收敛受罚参数的影响，在最大穿透没有充分减小的情况下可使用自适应罚方案自动递增罚参数。

ϵ^{(k + 1)} = {\begin{matrix} 10 ϵ^{(k)} & \forall | g_{n}^{(k)} | > \frac{1}{4} | g_{n}^{(k - 1)} | \\ ϵ^{(k)} & \forall | g_{n}^{(k)} | \leq \frac{1}{4} | g_{n}^{(k - 1)} | \end{matrix}

(4602)

为确保在停止求解器迭代之前已足够精确地满足接触条件且停止 Uzawa 增广，将监控接触压力和接触条件（接触约束）违例情况：

P_{t o l} \geq \frac{‖ λ^{*} - λ^{(k)} ‖}{c_{λ}}

(4603)

g_{t o l} \geq \frac{1}{l_{r e f}} ‖ {〈 g_{n}^{(k)} 〉}_{-} ‖

(4604)

其中， $c_{λ}$ 为归一化因子， $l_{r e f}$ 为参考长度，当前 $l_{r e f} = 1$ m。