弹塑性和粘塑性材料

塑性指的是固体材料不可逆的永久变形。弹塑性材料是对足够小的应力表现出线性弹性行为并对较高应力表现出塑性行为的材料。使材料开始发生塑性变形的应力称为屈服应力。低于屈服应力时，弹塑性材料的应力应变关系是线性的；高于屈服应力时，是非线性的。

以下公式适用于较小应变并假定塑性变形与发生变形的速率无关。

对于较小应变，应变张量可以写为：

ε = ε_{e l} + ε_{p l} + ε_{i n}

(4617)

其中， $ε_{e l}$ 是弹性应变张量， $ε_{p l}$ 是塑性应变张量， $ε_{i n}$ 包含对应变张量的任何非弹性影响（例如，热应变）。

根据 Eqn. (4605)，可以将应力张量写为：

σ = D : (ε - ε_{p l} - ε_{i n})

(4618)

其中， $D$ 为材料正切。因塑性变形而耗散的能量可以写为：

w_{p l} = \int_{0}^{t} {σ : \dot{ε}}_{p l} d t

(4619)

其中， $σ$ 为柯西应力张量。

塑性应变的标量度量为等效或累积塑性应变。 $ε_{e q}$ 此物理量表示随着塑性能的增加而累积的增量塑性应变：

{\dot{ε}}_{p l} : σ = σ_{y} {\dot{ε}}_{e q}

(4620)

塑性应变的另一标量度量为 Von Mises 塑性应变 $ε_{v m}$ ，定义为：

ε_{v m} = \sqrt{\frac{2}{3} ε_{p l} : ε_{p l}}

(4621)

要描述弹塑性材料的应力应变曲线，可以定义称为塑势的函数，因此：

\begin{array}{l} f (σ, α) < 0 & \to & elastic \\ f (σ, α) \geq 0 & \to & plastic \end{array}

(4622)

塑势是应力

σ

和一些硬化变量

α

（请参见硬化模型）的函数。

f = 0

定义屈服表面：

在 Eqn. (4622) 中，屈服表面之内的任何应力状态都是弹性的，屈服表面之外的任何应力都是塑性的。通常，屈服表面采用以下形式：

\begin{matrix} f (σ, α) = F (σ) \end{matrix} - σ_{Y} (α) = 0

(4623)

其中，

F (σ)

是某个应力函数，

σ_{Y}

是材料屈服应力。然后，使用以下公式将塑性应变张量确定为屈服面的法向：

{\dot{ε}}_{p l} = \dot{λ} \frac{\partial f}{\partial σ}

(4624)

其中为塑性乘数，由 Simcenter STAR-CCM+ 内部计算。 $\dot{λ}$ 对于 J2 势和 Hill 准则，塑性乘数等于等效塑性应变率 ( ${\dot{ε}}_{e q}$ )。

对于金属，最常见的塑势为 J2 势（也称为 Von Mises 势），定义为：

\begin{matrix} f_{v m} (σ, α) = σ_{v m} - σ_{Y} (α) \end{matrix} = 0

(4625)

对于产生各向异性 J2 的材料，塑性无效。在这种情况下，需要不同的塑性势准则来顾及各向异性屈服极限，同时保持不可压缩的塑性响应。Hill 准则定义如下：

f (σ, α) = \sqrt{F {(σ_{22} - σ_{33})}^{2} + G {(σ_{33} - σ_{11})}^{2} + H {(σ_{11} - σ_{22})}^{2} + 2 L σ_{23}^{2} + 2 M σ_{13}^{2} + 2 N σ_{12}^{2}} - σ_{Y} (α) = 0

(4626)

其中

σ_{i j}

是在正交基中给出的应力张量的分量，其矢量与塑性正交各向异性的主轴重合；

F, G, H, L, M, N

是各向异性屈服应力比的函数：

\begin{matrix} F = \frac{1}{2} (\frac{1}{R_{22}^{2}} + \frac{1}{R_{33}^{2}} - \frac{1}{R_{11}^{2}}) \\ \begin{matrix} G = \frac{1}{2} (\frac{1}{R_{33}^{2}} + \frac{1}{R_{11}^{2}} - \frac{1}{R_{22}^{2}}) \\ \begin{matrix} H = \frac{1}{2} (\frac{1}{R_{22}^{2}} + \frac{1}{R_{11}^{2}} - \frac{1}{R_{33}^{2}}) \\ \begin{matrix} L = \frac{1}{2} (\frac{1}{R_{23}^{2}}) \\ \begin{matrix} M = \frac{1}{2} (\frac{1}{R_{13}^{2}}) \\ N = \frac{1}{2} (\frac{1}{R_{12}^{2}}) \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

(4627)

其中各向异性屈服应力比定义为：

R_{i j} = \frac{σ_{i j}^{y i e l d}}{σ_{Y} (0)}

(4628)

σ_{i j}^{y i e l d}

其中是其他分量为零时极限屈服应力张量分量的值。 $σ_{i j}^{y i e l d}$ 如果 $R_{11} = R_{22} = R_{33} = 1$ 且 $R_{12} = R_{23} = R_{13} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ，则 Eqn. (4626) 简化为 Eqn. (4625)（Von Mises 势）。

粘塑性

粘塑性描述材料在负载下表现出粘性行为和塑性变形。与弹塑性材料不同，粘塑性材料对施加载荷的响应不仅取决于施加载荷的大小，还取决于施加载荷的速率。粘塑性与蠕变等现象或在恒定应变下表现出应力松弛的材料尤其相关。对于这些现象，通过将屈服应力替换为一组曲面（其中每个曲面表示恒定塑性应变率）可以扩展塑性定律。

Simcenter STAR-CCM+ 采用 Perzyna 定律对粘塑性建模，该定律通过在等效塑性应变率中引入附加条件来扩展经典塑性：

{\dot{ε}}_{e q} = η {[\frac{f (σ, α)}{σ_{Y_{0}}}]}^{\frac{1}{ϵ}}

(4629)

其中， $f (σ, α)$ 为塑性势， $σ_{Y_{0}}$ 为初始屈服应力， $ϵ$ 为速率灵敏度指数， $η$ 为粘塑性速率系数。

运动学硬化

对于循环载荷现象，Eqn. (4623) 可以写为如下形式：

\begin{matrix} f (σ - σ_{b}, α) = F (σ - σ_{b}) \end{matrix} - σ_{Y} (α) = 0

(4630)

其中表示背应力。

σ_{b}

背应力是一个二阶对称张量，它表示弹性域的中心。对于线性运动学硬化，背应力的时间导数为：

{\dot{σ}}_{b} = \frac{2}{3} C {\dot{ε}}_{p l}

(4631)

其中为硬化系数。 $C$

可以对此方程进行扩展，以减缓背应力的增长。扩展后将形成 Armstrong-Frederick 运动学硬化定律：

{\dot{σ}}_{b} = \frac{2}{3} C {\dot{ε}}_{p l} - γ {\dot{ε}}_{e q} σ_{b}

(4632)

其中， ${\dot{ε}}_{p l}$ 为塑性应变率， $γ$ 为材料参数，标量等效塑性应变率使用 Eqn. (4620) 隐式定义。

硬化规律

硬化模型描述屈服表面如何随后续屈服而变化。例如，对于各向同性硬化，在尺寸扩展时，屈服表面会保持以同一位置为中心。

Simcenter STAR-CCM+ 提供了线性各向同性硬化和饱和硬化的标准模型，以及表方法。

线性各向同性硬化

此模型将屈服应力 $σ_{Y}$ 定义为等效塑性应变 $ε_{e q}$ 的线性函数：

\begin{matrix} σ_{Y} (ε_{e q}) \end{matrix} = σ_{Y_{0}} + H_{0} ε_{e q}

(4633)

其中，

σ_{Y_{0}}

是初始屈服应力，

H_{0}

是定义线性函数斜率的硬化正切。

对于

H_{0} = 0

，屈服应力是常数 (

σ_{Y} = σ_{Y_{0}}

)。这种行为称为完全塑性。

饱和硬化

此模型将 $σ_{Y}$ 定义为 $ε_{e q}$ 的非线性混合硬化函数：

\begin{matrix} σ_{Y} (ε_{e q}) \end{matrix} = σ_{Y_{0}} + m \bar{H} ε_{e q} + (σ_{\infty} - σ_{Y_{0}}) (1 - e^{- δ ε_{e q}})

(4634)

其中，

m

为混合硬化参数，

\bar{H}

为线性硬化模量，

σ_{\infty}

和

δ

为饱和定律参数。

m \bar{H}

项将一个线性分量添加到非线性饱和硬化函数中。以下曲线表示当

m \bar{H} = 0

时两个不同

δ

值的硬化函数：

非零

m \bar{H}

项将生成如下所示的曲线，该曲线表示非线性混合硬化函数：

当 $δ$ 趋于零时，曲线与线性各向同性硬化函数曲线对齐（请参见线性各向同性硬化）。

表 (屈服应力, 塑性应变)

此模型可用于从实验数据中捕捉材料行为。要构建屈服应力与塑性应变之间的关系，除非激活立方插值，否则数据点之间将使用线性插值。通常，材料测试数据以标称应力和应变或真实应力和应变的形式提供。根据所使用的应变测量值，可以使用应力-应变关系中的方程计算相应的

σ_{y}

ε_{e q}

值。

应力-应变关系

通常，材料测试数据提供标称应力和应变值或真实应力和应变值。下面的方程根据所选应变测量值来定义这些物理量之间的关系。

线性应变: 对于线性应变，假设体积变形较小 ( $J \approx 1$ )，真实应变和标称应变之间的关系为：

$ε_{11}^{n} = e^{ε_{11}^{t}} - 1$
(4635)
其中， $ε_{11}^{n}$ 为总标称应变， $ε_{11}^{t}$ 为总真实应变。; 塑性应变分量为：

$ε_{11}^{p n} = ε_{11}^{n} - \frac{σ_{11}}{E}$
(4636); 其中， $ε_{11}^{p n}$ 为塑性标称应变。此值用于定义硬化模型的等效应变。
格林-拉格朗日: 如果选择格林-拉格朗日应变测量，则硬化模型的屈服应力和等效应变由第二 Piola-Kirchoff 应力和格林-拉格朗日应变张量定义。; 假设体积变形很小 ( $J \approx 1$ )，则真实应力和应变与标称应力和应变之间的关系如下：

$ε_{11}^{n} = e^{ε_{11}^{t}} - 1$
(4637)

$P_{11} = \frac{σ_{11}}{(1 + ε_{11}^{n})}$
(4638)
然后，可从标称应力和应变获得第二 Piola-Kirchoff 应力和格林-拉格朗日应变：

$S_{11} = \frac{P_{11}}{(1 + ε_{11}^{n})}$
(4639)

$E_{11} = ε_{11}^{n} + \frac{{(ε_{11}^{n})}^{2}}{2}$
(4640)
塑性应变可通过总应变计算：

$ε_{11}^{p} = E_{11} - \frac{S_{11}}{E}$
(4641)
对数: 如果选择对数应变测量，则从总应变获得塑性应变：

$ε_{11}^{p} = ε_{11} - \frac{σ_{11}}{E}$
(4642)